Este é o primeiro artigo sobre como encontrar a área de uma região quando dois arcos de circunferência são descritos internamente a um quadrado. Para ler a parte 2 dessa série de artigos, acesse o link abaixo:
Seja um quadrado de lado $r$ e sejam dois arcos de circunferência de raios $r$ , cujos centros encontram-se em dois vértices adjacentes do quadrado. Calcular a área hachurada.
Iniciamos nomeando cada vértice e unindo os vértice do do quadrado que são os centros dos arcos com o ponto de intersecção.
O triângulo $ABE$ é equilátero, portanto, seus ângulos internos $E\hat{A}B$ e $E\hat{B}A$ e $B\hat{E}A$ medem $60°$. Consequentemente, os ângulos $E\hat{A}D$ e $E\hat{B}C$ medem $30°$.
A área hachurada $CDE$ será dada pela área do quadrado, subtraindo as áreas do triângulo $ABE$ e os setores circulares $EAD$ e $EBC$.
A área do quadrado $ABCD$ é dada pelo produto entre seus lados:
$$A_Q = r^2 \tag{1}
$$
A área do triângulo $ABE$ é dada por:
$$A_T = \frac{r^2\sqrt{3}}{4} \tag{2}
$$
Para encontrarmos essa fórmula $(2)$, primeiro devemos aplicar o teorema de Pitágoras para obtermos uma relação entre a altura $h$ e seu lado $r$ e depois aplicarmos a fórmula da área de um triângulo.
Para encontrarmos a altura $h$ em função do lado $r$, fazemos:
$$r^2 = h^2 + \left(\frac{r}{2}\right)^2\\
\ \\
h^2 = r^2 - \frac{r^2}{4}\\
\ \\
h^2 = \frac{3r^2}{4}\\
\ \\
h = \frac{r\sqrt{3}}{2}
$$
E para encontrarmos a área do triângulo $ABE$, aplicamos a fórmula para a área do triângulo, substituindo a altura $h$ pela relação obtida acima:
$$A_T = \frac{\text{base}\cdot \text{altura}}{2}\\
\ \\
A_T = \frac{r \cdot \displaystyle \frac{r\sqrt{3}}{2} }{2}\\
\ \\
A_T = \frac{r^2\sqrt{3}}{4}
$$
Vamos agora calcular a área de cada setor circular $EAD$ e $EBC$
A área de um círculo é dada por $A = \pi\ r^2$. Se quisermos calcular a área de um setor circular, aplicamos a regra de três:
\begin{matrix}&360° & = & \pi\ r^2&\\
& \theta & = & A_S
\end{matrix}
Como $\theta = 30°$, fazemos:
\begin{matrix}&360° & = & \pi\ r^2&\\
& 30° & = & A_S
\end{matrix}
Isolando a área $A_S$:
$$A _S= \frac{\pi\ r^2}{12} \tag{3}
$$
Agora, já temos condições de calcular a área hachurada. Fazemos:
$$A_H = A_Q - A_T - 2\cdot A_S\\
\ \\
A_H = r^2 -\frac{r^2 \sqrt{3}}{4} - 2 \cdot \frac{\pi\ r^2}{12}\\
\ \\
A_H = r^2 - \frac{r^2 \sqrt{3}}{4} - \frac{\pi\ r^2}{6}\\
$$
Obtendo, finalmente, a fórmula para a área hachurada:
$$A_H = r^2 \left( 1-\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\pi}{6} \right) \tag{4}
$$
Exemplo 1:
Calcular a área hachurada da figura abaixo sabendo que o quadrado possui $4\ cm$ de lado.
Como o lado mede $4\ cm$, substituímos na fórmula encontrada em $(4)$:
$$A_H = 4^2 \left( 1-\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\pi}{6} \right) \\
\ \\
A_H = 16 \left( 1-\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\pi}{6} \right)\\
\ \\
A_H \approx 0,6942\ cm
$$
Links para este artigo:
- https://bit.ly/area-quadrado-circulos-1
- https://www.obaricentrodamente.com/2022/04/como-calcular-a-area-envolvendo-um-quadrad-e-dois-arcos-de-circunferencia-parte-1.html
Muito obrigado!
ResponderExcluirMuito bom!
Olá Paulo! Eu que agradeço por ler o artigo e comentar.
ExcluirUm abraço!
Legal. E só usando geometria básica.
ResponderExcluirOlá Francisco! Obrigado por dedicar parte de seu tempo em ler e comentar esse artigo. Farei outras publicações de variações desse problema. Um abraço!
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