Como calcular a área envolvendo um quadrado e dois arcos de circunferência - Parte 1

Este é o primeiro artigo sobre como encontrar a área de uma região quando dois arcos de circunferência são descritos internamente a um quadrado. Para ler a parte 2 dessa série de artigos, acesse o link abaixo:

• Como calcular a área envolvendo um quadrado e dois arcos de circunferência - Parte 2

Seja um quadrado de lado $r$ e sejam dois arcos de circunferência de raios $r$ , cujos centros encontram-se em dois vértices adjacentes do quadrado. Calcular a área hachurada.

 

Iniciamos nomeando cada vértice e unindo os vértice do do quadrado que são os centros dos arcos com o ponto de intersecção.

O triângulo $ABE$ é equilátero, portanto, seus ângulos internos $E\hat{A}B$ e $E\hat{B}A$ e $B\hat{E}A$ medem $60°$. Consequentemente, os ângulos $E\hat{A}D$ e $E\hat{B}C$ medem $30°$.

 

A área hachurada $CDE$ será dada pela área do quadrado, subtraindo as áreas do triângulo $ABE$ e os setores circulares $EAD$ e $EBC$.

 

A área do quadrado $ABCD$ é dada pelo produto entre seus lados:

$$A_Q = r^2 \tag{1}$$

A área do triângulo $ABE$ é dada por:

$$A_T = \frac{r^2\sqrt{3}}{4} \tag{2}$$

Para encontrarmos essa fórmula $(2)$, primeiro devemos aplicar o teorema de Pitágoras para obtermos uma relação entre a altura $h$ e seu lado $r$ e depois aplicarmos a fórmula da área de um triângulo.

Para encontrarmos a altura $h$ em função do lado $r$, fazemos:

$$r^2 = h^2 + \left(\frac{r}{2}\right)^2\\ \ \\ h^2 = r^2 - \frac{r^2}{4}\\ \ \\ h^2 = \frac{3r^2}{4}\\ \ \\ h = \frac{r\sqrt{3}}{2}$$

E para encontrarmos a área do triângulo $ABE$, aplicamos a fórmula para a área do triângulo, substituindo a altura $h$ pela relação obtida acima:

$$A_T = \frac{\text{base}\cdot \text{altura}}{2}\\ \ \\ A_T = \frac{r \cdot \displaystyle \frac{r\sqrt{3}}{2} }{2}\\ \ \\ A_T = \frac{r^2\sqrt{3}}{4}$$

Vamos agora calcular a área de cada setor circular $EAD$ e $EBC$

A área de um círculo é dada por $A = \pi\ r^2$. Se quisermos calcular a área de um setor circular, aplicamos a regra de três:

$$\begin{matrix} &360° & = & \pi\ r^2&\\ & \theta & = & A_S \end{matrix}$$

Como $\theta = 30°$, fazemos:

$$\begin{matrix} &360° & = & \pi\ r^2&\\ & 30° & = & A_S \end{matrix}$$

Isolando a área $A_S$:

$$A _S= \frac{\pi\ r^2}{12} \tag{3}$$

Agora, já temos condições de calcular a área hachurada. Fazemos:

$$A_H = A_Q - A_T - 2\cdot A_S\\ \ \\ A_H = r^2 -\frac{r^2 \sqrt{3}}{4} - 2 \cdot \frac{\pi\ r^2}{12}\\ \ \\ A_H = r^2 - \frac{r^2 \sqrt{3}}{4} - \frac{\pi\ r^2}{6}\\ $$

Obtendo, finalmente, a fórmula para a área hachurada:

$$A_H = r^2 \left( 1-\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\pi}{6} \right) \tag{4}$$

 

Exemplo 1:

Calcular a área hachurada da figura abaixo sabendo que o quadrado possui $4\ cm$ de lado.

Como o lado mede $4\ cm$, substituímos na fórmula encontrada em $(4)$:

$$A_H = 4^2 \left( 1-\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\pi}{6} \right) \\ \ \\ A_H = 16 \left( 1-\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\pi}{6} \right)\\ \ \\ A_H \approx 0,6942\ cm$$

 

Links para este artigo:

• https://bit.ly/area-quadrado-circulos-1
  
• https://www.obaricentrodamente.com/2022/04/como-calcular-a-area-envolvendo-um-quadrad-e-dois-arcos-de-circunferencia-parte-1.html

 

Veja mais:

• Representação geométrica de expressões algébricas
  
• Construção de um triângulo equilátero através de origami
  
• Área da superfície esférica