15/09/2011

Como Construir uma Aproximação Para a Quadratura do Círculo Com Régua e Compasso

A quadratura do círculo é um dos três problemas clássico da Geometria Grega Antiga, onde se torna impossível a construção de um quadrado com a mesma área de um círculo dado utilizando apenas régua e compasso.

No entanto, podemos encontrar aproximações que, dependendo da utilização, podem ser tomadas como equivalentes. Vamos aqui construir uma aproximação para o problema da Quadratura do Círculo.

clip_image002

1) Inicie com um quadrado ABCD de aresta igual a a;

2) Encontre o ponto médio do segmento AB e marque como M;

3) Una os pontos M e C e encontre o ponto médio deste segmento marcando como O;

4) Com centro em O e raio OM, descreva a circunferência procurada.

Desta forma, construímos um círculo cuja área é aproximadamente igual à área do quadrado. Assim, temos que a área do quadrado é dada por:

clip_image004

Vamos calcular a área do círculo em função da medida de a. Para tal, consideremos o triângulo retângulo BCM e apliquemos o teorema pitagórico:

clip_image006

clip_image008

clip_image010

clip_image012

Assim, o raio da circunferência será:

clip_image014

E a área do círculo será dada por:

clip_image016

O problema da quadratura nos diz que a área do círculo deve ser igual à área do quadrado e como esta construção é apenas uma aproximação, temos:

clip_image018

clip_image020

clip_image022

Vejam que a aproximação é dada pelo valor de π, que somente se aproxima do valor real. Concluímos que a área do quadrado é ligeiramente maior que a área do círculo.


Veja mais:

Como Dividir um Ângulo em Três Partes Iguais com Régua e Compasso
Construção Geométrica da Parábola com Régua e Compasso
Os Três Problemas Famosos da Geometria Grega no blog Fatos Matemáticos

4 comentários:

  1. Olá, Kleber!

    É verdade que o processo não é exato, mas, tem lá a sua utilidade, pois aproxima bastante da medida real. Aqui é aquela história, se não tem você... vai tu mesmo.
    Outra coisa boa, é que não é de construção complicada para se fazer!
    Gostei!

    Um abraço!!!!!

    ResponderExcluir
  2. É verdade Valdir. É uma construção tão simples e aproxima tão bem... porque não aprendemos isso na escola? Será que precisamos sempre ser autodidatas para saber dessas coisas?

    ResponderExcluir
  3. Pretendo usar essa aproximação em um trabalho de graduação, por isso preciso de autor, data, etc.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Pablo, não me lembro se esta construção vi em algum lugar. Procurei por aqui e não encontrei nenhuma fonte.

      Excluir

Por favor, leiam antes de comentar:

▪ Escreva um comentário apenas referente ao tema;

▪ Para demais, utilize o formulário de contato;

▪ Comentários ofensivos ou spans não serão publicados;

▪ Desde o dia 23/07/2013, todos os comentários passaram a ser moderados. Para maiores detalhes, veja a nota de moderação aqui;

▪ É possível escrever fórmulas em $\LaTeX$ nos comentários deste blog graças a um script da Mathjax. Para fórmulas inline ou alinhadas à esquerda, escreva a fórmula entre os símbolos de $\$$; Para fórmulas centralizadas, utilize o símbolo duplo $\$\$$.

Por exemplo, a^2 + b^2 = c^2 entre os símbolos de $\$\$$, gera:
$$a^2+b^2=c^2$$
▪ Para visualizar as fórmulas em $\LaTeX$ antes de publicá-las, acessem este link.

Redes Sociais

Arquivo do Blog

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...