Triângulos órticos

O triângulo é objeto de estudo desde a antiguidade. Nos remotos tempos de Tales, Pitágoras e Arquimedes já sabia-se algumas de sua propriedades e com o passar dos séculos, os matemáticos e entusiastas vieram a descobrir muitas outras mais. Uma dessas propriedades é que da intersecção das três alturas de um triângulo, obtém-se um ponto denominado ortocentro, que é único em um triângulo.

Ao unirmos os pés dessas alturas, obtemos um novo triângulo denominado triângulo órtico, justamente por ser obtido através da construção do ortocentro.

Definição

Chama-se órtico de um triângulo $ABC$ qualquer, o triângulo cujos vértices são os pés das alturas do triângulo $ABC$.

O ortocentro existe em qualquer triângulo, seja ele acutângulo, obtusângulo ou retângulo. No entanto, o triângulo órtico só existe no triângulo acutângulo e no obtusângulo, pois no triângulo retângulo os pés das três alturas se coincidem num mesmo ponto, que é o vértice do triângulo que contém o ângulo reto.

Todo triângulo não-retângulo possui um único triângulo órtico. Porém, um mesmo triângulo órtico pode ser obtido de quatro triângulo diferentes: um acutângulo e três obtusângulos.

A figura acima mostra os quatro triângulos que possuem o mesmo órtico. Note que o triângulo acutângulo $ABC$ contém os outros três triângulos obtusângulos, e por este motivo o triângulo acutângulo é denominado triângulo fundamental do triângulo órtico.

Teorema

As alturas de um triângulo acutângulo são as bissetrizes dos ângulos internos do triângulo órtico.

Demonstração

Primeiramente, vemos que os ângulos $A\widehat{B}H$ e $A\widehat{C}H$ são congruentes e medem $\alpha$.

Vamos provar que os ângulos $A\widehat{H_a}H_b$ e $A\widehat{H_a}H_c$ são congruentes e também medem $\alpha$.

Observemos que os quadriláteros $HH_aCH_b$ e $HH_aBH_c$ são inscritíveis, por possuírem cada um deles um par de ângulos opostos retos e, portanto, suplementares. Do quadrilátero $HH_aCH_b$, deduzimos que $A\widehat{H_a}H_b \equiv A\widehat{C}H_c$, pois são ângulos inscritos que enxergam o mesmo arco $HH_b$:

$$\begin{equation} A\widehat{H_a}H_b = \alpha \end{equation}$$
Analogamente, do quadrilátero $HH_aBH_c$, deduzimos que $A\widehat{H_a}H_c \equiv A\widehat{B}H_c$:
$$\begin{equation} A\widehat{H_a}H_c = \alpha \end{equation}$$
Igualando as relações $(1)$ e $(2)$, obtemos que:
$$\begin{equation} A\widehat{H_a}H_b\equiv A\widehat{H_a}H_c \end{equation}$$

A relação $(3)$ mostra que a altura $\overline{AH_a}$ do triângulo $ABC$ é a bissetriz de um ângulo interno do triângulo órtico.

Seguindo o mesmo raciocínio, podemos provar que as outras duas alturas são as bissetrizes dos outros dois ângulos internos do triângulo órtico.

Construção geométrica do triângulo órtico a partir do triângulo fundamental

Dado um triângulo acutângulo $ABC$, veremos como construir seu triângulo órtico. Para tal, devemos traçar as três alturas.

1) Seja um triângulo acutângulo $ABC$ dado:

2) Primeiramente vamos construir a altura $\overline{AH_a}$, referente ao lado $\overline{BC}$. Com a ponta seca do compasso em $A$, descrevemos um arco que corta o lado $\overline{BC}$ em nos pontos $P_1$ e $P_2$:

3) Em seguida, construímos a mediatriz do segmento definido pelos pontos $P_1$ e $P_2$. Com a ponta seca do compasso em $P_1$, descrevemos um arco de raio maior que a metade do segmento $\overline{P_1P_2}$. Em seguida, descrevemos outro arco de mesmo raio centrado em $P_2$. A reta que passa pela intersecção desses arcos, também passa pelo ponto $A$ e define a altura $\overline{AH_a}$:

4) Analogamente, construímos as alturas $\overline{BH_b}$ e $\overline{CH_c}$ respectivamente aos lados $\overline{AC}$ e $\overline{AB}$ do triângulo:

5) Unindo os pés das alturas $H_a$, $H_b$ e $H_c$, construímos o triângulo órtico $H_aH_bH_c$ referente ao triângulo $ABC$.

Referências:

• Desenho Geométrico Volume Especial - Putnoki - Ed. Scipione

Veja mais:

• Pontos notáveis de um triângulo
• Os pontos de Brocard em um triângulo 
• Relações métricas no triângulo retângulo