Na maioria dos casos, é abordado apenas o sistema de coordenadas retangulares ou cartesianas, no qual a ênfase é colocada sobre as distâncias de um ponto a dois eixos perpendiculares. Em algumas aplicações, tais como a curva descrita por um planeta em torno do sol, é mais vantajoso usar um outro sistema de coordenadas cuja posição de um ponto é descrito por sua direção a partir da origem, e por sua distância da origem. Um tal sistema é chamado de sistema de coordenadas polares.
Na figura acima, temos um ponto P juntamente com suas coordenadas. A semirreta OA é chamado eixo polar e OP=r é o raio vetor. A direção especificada por um ângulo θ em radianos, medida a partir de OA. Este ângulo θ é positivo se for medido no sentido anti-horário e negativo se for medido no sentido horário exatamente como se faz na Trigonometria. A distância é dada pela distância orientada r, medida a partir da origem ao longo do lado terminal do ângulo θ. Os dois números r e θ escritos nesta ordem e denotados por (r,θ) chamam-se coordenadas polares do ponto. Observe que a semirreta θ=0 é o semi-eixo positivo dos x e θ=π/2 é o semi-eixo positivo dos y e r=0 indica-se a origem ou polo do sistema de coordenadas polares.
O termo "distância orientada" é devido ao fato de que em algumas situações encontramos r negativo. Nesse caso, subentende-se que em vez de sair da origem no sentido indicado pelo lado terminal de θ nos dirigimos para a origem a ponto, percorrendo uma distância r no sentido oposto a ele. Para compreender melhor este caso observe a figura abaixo.
Podemos associar o sistema de coordenadas polares com o sistema de coordenadas cartesianas colocando o eixo polar sobre o eixo x, de modo que eixo polar OA aponte para o sentido positivo do eixo x como na figura acima. Nesta figura, o ponto A possui coordenadas (3,π/4), mas este ponto também tem coordenadas polares dadas por A(3,π/4+2π). Assim, todo múltiplo de 2π somado ou subtraído da coordenada θ de um ponto produz um outro ângulo com o mesmo lado terminal; portanto, temos uma outra coordenada θ do mesmo ponto.
Simmons comenta em seu livro de Cálculo com Geometria Analítica que: "o fato de que um ponto não é representado por um único par de coordenadas polares é um aborrecimento, embora pequeno. Contudo, é verdade que qualquer par de coordenadas polares dado determina o correspondente ponto sem nenhuma ambiguidade."
Agora, já temos dois sistemas de coordenadas no plano e próximo passo é descobrir o modo de transformar as coordenadas de um sistema nas coordenadas do outro e vice-versa. Para isso, considere a figura abaixo:
Do triângulo retângulo, temos cos(θ)=xr e sen(θ)=yr. Assim, para transformar coordenadas polares em coordenadas cartesianas, usamos as expressões:
{x=rcos(θ)y=r sen(θ)
Novamente deste triângulo retângulo, temos
tg(θ)=yx⟹θ=arctg(yx)
e pelo teorema de Pitágoras,
x2+y2=r2
Estas expressões nos fornece o caminho para transformar coordenadas cartesianas em polares, isto é,
{θ=arctg(yx)r=√x2+y2
Exemplo 1:
Transforme:a) (3,4) para coordenadas polares;
b) (2,π/3) para coordenadas cartesianas.
Resolução:
a) Neste caso, r=√32+42=5 e tg(θ)=43⟹θ=arctg(43).
b) Analogamente, usando as expressões acima, temos
x=2cos(π3)=2⋅12=1
e
y=2 sen(π3)=√3
Se o raio vetor r está relacionado com θ através da expressão r=f(θ), então se a função f(θ) é razoavelmente simples, podemos esboçar o seu gráfico escolhendo uma sequência adequada de valores de θ e calculando os valores correspondentes de r. O gráfico polar abaixo nos auxilia nesta tarefa.
Exemplo 2:
A curva cuja equação polar é r=2 (1+cos(θ)) é conhecida por cardioide (coração em latim). Sua representação no gráfico polar é dada na figura abaixo.Outros gráficos podem ser gerados desta forma, tais como circunferências, limaçons, lemniscatas, espirais, rosáceas, entre outros.
* Este artigo é uma republicação. O link do artigo original encontra-se nas referências.
Referências:
[1] O sistema de coordenadas Polares no blog Fatos Matemáticos, originalmente escrito pelo prof. Paulo Sérgio C. LinoVeja mais:
Números complexosÁrea em coordenadas polares
Centro de gravidade de áreas planas
Muito interessante a postagem!
ResponderExcluirMuitas vezes nos perguntamos sobre a necessidade de estudarmos outros tipos de coordenadas além daquelas que já aprendemos na escola durante o ensino fundamental e médio, isto é, além das famosas coordenadas cartesianas.
O fato é que, a introdução de novas coordenadas tem o intuito de aumentar as aplicações e reduzir as contas.
Imaginemos a seguinte situação:
Um programador foi contratado em um indústria para escrever o código fonte do movimento de um braço mecânico que irá montar os carros de uma industria de automóveis, visto que os movimentos descritos pelo braço mecânico são movimentos circulares e movimentos de extensão e contração do braço, é mais adequado a utilização de coordenadas polares.
Outra aplicação bem interessante são os microfones cardióides (a curva descrita na postagem), a área de abrangência descritas por microfones deste tipo forma exatamente a região de uma cardióide!
Muito boa a postagem!
Olá Diego. Obrigado pelo comentário.
ExcluirAplicações necessitam de estudos mais específicos, o que são vistos no ensino superior.
Não queria citar mais um clichê, mas a matemática está em tudo mesmo. E conforme vamos nos especializando, conseguimos ver as aplicações mais claramente.
Gostei da informação sobre os microfones, não sabia desta.
Um abraço!
Muito legal a postagem... Trabalhei este tema há poucos dias! Vou recomendar aos estudantes junto com as notas da disciplina!
ResponderExcluirObrigado Charles. Só tenho a agradecer.
ExcluirUm abraço!
Mais uma excelente postagem do Blog.
São inúmeras as aplicações com as coordenadas esféricas. Em linhas gerais, buscamos a mudança de coordenadas para prover alguma simetria na resolução de problemas.
Em deduções de campos eletromagnéticos, geralmente buscamos auxílio em coordenadas esféricas e cilíndricas. A saber:
Em coordenadas esféricas, o vetor diferencial de deslocamento seria:
→r(r,θ,ϕ)=dr→ar+rdθ→aθ+rsenθdϕ→aϕ
E em coordenadas cilíndricas:
\vec{r(\rho,\phi,\z)}=d \rho \vec{a_{\rho}+\rho d \phi \vec{a_{\phi}}+dz \theta \vec{a_z}
Att,
Diogo CardosoResponderExcluir
Muito bom artigo. Gostei também do comentário da cardioide.
ResponderExcluirA mudança do sistema de coordenadas simplifica em muito a resolução de problemas, como alguns problemas de Física avançada com resolução de equações diferenciais.
Existem ainda outros sistemas de coordenadas para 2D, que é o citado no texto, e 3D. Coordenadas elípticas e coordenadas parabólicas, que podem ser expandidas para 3D.
Coordenadas elípticas entrelaçam elipses e hipérboles. O cruzamento destas figuras determinam o pontos.
E da mesma forma que coordenadas cilíndricas possuem um aspecto como uma base circular, coordenadas cilíndricas elípticas e parabólicas possuem este aspecto como uma elipse e uma parábola no plano.
Tem um livro de Eletromagnetismo da Coleção Schaum que mostra uns exemplos destes outros sistemas de coordenadas.