12/08/2017

Integrais contínuas de Rodrigues

Este post é sobre Integrais Contínuas e suas resoluções, envolvendo equações diferenciais, desenvolvidas por Augusto Gabriel Rodrigues, pesquisador em Ciências Físico-Matemáticas da Universidade Agostinho Neto em Luanda, Angola.


Definição:

Integrais Contínuas de Rodrigues são todas integrais cujas formas são dada por:
\begin{equation*}
\int\frac{dx}{\displaystyle \varphi(x)+\int \frac{dx}{\displaystyle \varphi(x)+\int \frac{dx}{\displaystyle \varphi (x)+ \int \frac{dx}{\varphi(x) \cdots}}}} \tag{1}\\
\end{equation*}
\begin{equation*}
\int \frac{\varphi(x)\ dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi (x)\ dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi (x)\ dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi (x)\ dx}{\cdots}}}} \tag{2}\\
\end{equation*}
\begin{equation*}
\int \frac{\varphi(x)\ dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi\ ^2 (x)\ dx}{\displaystyle \int
 \frac{\varphi \ ^3 (x)\ dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi \ ^4 (x)\ dx}{\cdots}}}} \tag{3}\\
\end{equation*}
\begin{equation*}
\int \left( \varphi (x) \right)^{\displaystyle \int \left( \varphi (x) \right)^{\displaystyle \int \left( \varphi (x) \right)^\cdots dx}dx}dx
 \tag{4}
\end{equation*}
As Integrais contínuas de Rodrigues são obtidas quando no lugar de $x$ na integral $\displaystyle \int \varphi (x)dx$, colocamos infinitas vezes a integral $\displaystyle \int \varphi \left( \int \varphi \left( \int \varphi \left( \cdots \right) dx \right) dx \right) dx$.

Demonstração da Integral de Rodrigues do tipo $(1)$:

Toda integral contínua do tipo $1$, satisfaz a seguinte igualdade:
\begin{equation*}
\int\frac{dx}{\displaystyle \varphi(x)+\int \frac{dx}{\displaystyle \varphi(x)+\int \frac{dx}{\displaystyle \varphi (x)+ \int \frac{dx}{\varphi(x) \cdots}}}}= \psi(x) \tag{5}
\end{equation*}
Onde $\psi(x)$ é a solução da equação diferencial:
\begin{equation*}
\left( \psi(x) + \varphi (x) \right) \frac{d \psi(x)}{dx}= 1 \tag{6}
\end{equation*}

Provemos, então, a igualdade $6$. Seja a integral:
\begin{equation*}
\int\frac{dx}{\displaystyle \varphi(x)+\boxed{\int \frac{dx}{\displaystyle \varphi(x)+\int \frac{dx}{\displaystyle \varphi (x)+\int \frac{dx}{\varphi(x) \cdots}}}}} = \psi(x)
\end{equation*}
Não é difícil observar que a expressão contida no retângulo constitui a integral $(5)$, pois ela se estende ao infinito, tendo como sua primitiva $\psi(x)$. Assim, temos:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{\varphi(x)+\psi(x)}=\psi(x)
\end{equation*}
o que constitui uma equação integral elementar. Derivando ambos os membros desta igualdade, obtemos:
\begin{equation*}
\frac{d}{dx}\int \frac{dx}{\varphi(x)+\psi(x)}=\frac{d\psi(x)}{dx}\
\ \\
\frac{1}{\varphi(x)+\psi(x)} = \frac{d\psi(x)}{dx}\end{equation*}
Ou ainda:
\begin{equation*}
\left( \varphi(x)+\psi(x) \right)\frac{d \psi(x)}{dx}=1
\end{equation*}
Como queríamos demonstrar.

Método de resolução da Integral de Rodrigues do tipo $1$:

Toda integral do tipo $1$ satisfaz a seguinte igualdade:
\begin{equation*}
\int\frac{dx}{\displaystyle \varphi(x)+\int \frac{dx}{\displaystyle \varphi(x)+\int \frac{dx}{\displaystyle \varphi (x)+\int \frac{dx}{\varphi(x) \cdots}}}} = \psi(x)
\end{equation*}
onde $\psi(x)$ é a solução da equação diferencial:
\begin{equation*}
\left( \psi(x) + \varphi (x) \right) \frac{d \psi(x)}{dx}= 1
\end{equation*}

Método de resolução da Integral de Rodrigues do tipo $2$: 

Toda a integral do tipo $2$ satisfaz a seguinte igualdade:
\begin{equation*}
\int \frac{\varphi(x)\ dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi (x)\ dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi (x)\ dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi (x)\ dx}{\cdots}}}}= \psi(x)
\end{equation*}
onde $\psi(x)$ é a solução da equação diferencial:
\begin{equation*}
\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{d \psi(x)}{dx}
\end{equation*}

A Integral de Rodrigues do tipo $2$ é utilizada pelo autor para provar que algumas integrais não são elementarmente primitiváveis.

Método de resolução da Integral de Rodrigues do tipo $3$:

Toda a integral do tipo $3$ satisfaz a igualdade:
\begin{equation*}
\int \frac{\varphi(x)\ dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi\ ^2 (x)\ dx}{\displaystyle \int
 \frac{\varphi \ ^3 (x)\ dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi \ ^4 (x)\ dx}{\cdots}}}} 
\end{equation*}onde:
\begin{equation*}
\psi_{n-1}(x)=\int \frac{\varphi^{n-1}(x)dx}{\psi_n(x)}
\end{equation*}
A solução da integral obtém-se resolvendo o sistema de equações diferenciais $\displaystyle \frac{d\psi(x)}{dx}=\frac{\varphi^{n-1}(x)}{\psi_n(x)}$, onde $n=2,3,4, \cdots$:
\begin{equation*}
\psi_1 = \int \frac{\varphi \ (x)dx}{\psi_2}\\
\ \\
\psi_2 = \int \frac{\varphi^2(x) dx}{\psi_3}\\
\ \\
\psi_3 = \frac{\varphi^3(x)dx}{\psi_4}\\
\ \\
\ \cdots \\
\ \\
\psi_{n-1}= \int \frac{\left(\varphi(x)\right)^{n-1} dx}{\psi_n}
\end{equation*}e $\psi_i $, onde $i=1,2,3,\cdots$, são as soluções do sistema de equações:
\begin{cases}
\psi_1\ ^\prime\  \psi_2 & = & x\\
\psi_2\ ^\prime\  \psi_3 & = & x^2\\
\psi_3\ ^\prime\  \psi_4 & = & x^3\\
\cdots
\end{cases}

Método de resolução da Integral de Rodrigues do tipo $4$:

Toda integral do tipo $4$ satisfaz a igualdade:
\begin{equation*}
\int \left( \varphi (x) \right)^{\displaystyle \int \left( \varphi (x) \right)^{\displaystyle \int \left( \varphi (x) \right)^\cdots dx}dx}dx  = \psi(x)
\end{equation*}
onde $\psi(x)$ é a solução da equação diferencial:
\begin{equation*}
\varphi(\psi(x))=\frac{d \psi(x)}{dx}
\end{equation*}

Algumas conclusões:

Em virtude dos resultados obtidos, podemos concluir:


\begin{equation*}
1) \qquad \int\frac{dx}{\displaystyle 1+\int \frac{dx}{\displaystyle
1+\int \frac{dx}{\displaystyle 1+ \int \frac{dx}{1+
 \cdots}}}}= \psi(x)
\end{equation*}
onde:
\begin{equation*}
\frac{(1+\psi(x))^2}{2}=x+C
\end{equation*}

\begin{equation*}
2) \qquad \int\frac{\ln(x)dx}{\displaystyle \int \frac{\ln(x)dx}{\displaystyle
\int \frac{\ln(x)dx}{\displaystyle \int \frac{\ln(x)dx}{
 \cdots}}}}= \psi(x)
\end{equation*}
onde:
\begin{equation*}
\frac{(\psi(x))^2}{2}=x(\ln (x)-1)+C
\end{equation*}

\begin{equation*}
3) \qquad \int \left( \text{sen} (x) \right)^{\displaystyle \int \left( \text{sen}(x) \right)^{\displaystyle \int \left( \text{sen} (x) \right)^\cdots dx}dx}dx = \psi(x)
\end{equation*}
onde $\psi(x)$ é a solução da equação diferencial:
\begin{equation*}
\text{sen}(\psi(x))=\frac{d \psi(x)}{dx}
\end{equation*}

\begin{equation*}
4) \qquad \int \frac{\text{tg}(x)dx}{\displaystyle 1+\int\frac{\text{cotg}(x)dx}{\displaystyle 1+\int\frac{\text{tg}(x)dx}{\displaystyle 1+\int \frac{\text{cotg}(x)dx}{\displaystyle 1+ \int \frac{\text{tg}(x)dx}{\displaystyle 1+ \cdots}}}}} = \psi(x)
\end{equation*}
onde $\psi(x)$ é a solução da equação diferencial:
\begin{equation*}
-(\text{tg}(x))^2 \ddot{\psi} + \text{tg} (x) \sqrt{1+\text{tg}^2(x)} \ \dot{\psi}=\frac{1}{\psi}
\end{equation*}
onde $\psi$ = $\psi (x)$.

\begin{equation*}
5) \qquad \int\frac{\ln(1+x)dx}{\displaystyle \int \frac{\ln(x)dx}{\displaystyle  \int \frac{\ln(1+x)dx}{\displaystyle \int \frac{\ln(x)dx}{  \cdots}}}}= \psi(x)
\end{equation*}
onde $\psi (x)$ é a solução da equação diferencial:
\begin{equation*}
\frac{\psi(x)}{1+x} - \dot{\psi} \ln(1+x)=\psi \ln(x)
\end{equation*}

\begin{equation*} 
6) \qquad \int e (x)^{\displaystyle \int e(x)^{\displaystyle \int e(x)^\cdots dx}dx}dx  = \psi(x)
\end{equation*}
onde $\psi(x)$ é a solução da equação diferencial:
\begin{equation*} 
e^{\displaystyle \psi(x)}=\frac{d \psi(x)}{dx}
\end{equation*}

\begin{equation*} 
7) \qquad \int\frac{\text{arctg}(x)\ dx}{\displaystyle 1+\int \frac{\text{arctg}(x)\ dx}{\displaystyle  1+\int \frac{\text{arctg}(x)\ dx}{\displaystyle 1+ \int \frac{\text{arctg}(x) \ dx}{1+  \cdots}}}}= \psi(x)
\end{equation*}
onde $\psi(x)$ é a solução da equação diferencial:
\begin{equation*} 
\frac{d \psi(x)}{dx}=\frac{\text{arctg}(x)}{1+\psi(x)}
 \end{equation*}

\begin{equation*}
8) \qquad \int\frac{\text{arcsen}(x)\ dx}{\displaystyle 1+\int \frac{\text{arccos}(x)\ dx}{\displaystyle  1+\int \frac{\text{arcsen}(x)\ dx}{\displaystyle 1+ \int \frac{\text{arccos}(x) \ dx}{1+  \cdots}}}}= \psi(x)
\end{equation*}
onde $\psi(x)$ é a solução da equação diferencial:
\begin{equation*}
\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ \frac{1}{\dot{\psi}^3} - \text{arcsen}(x)\frac{\ddot{\psi}}{\dot{\psi}^2}=\frac{\text{arccos}(x)}{1+\psi(x)}
\end{equation*}

A lista de Integrais Contínuas de Rodrigues, que se reduzem a equações diferenciais, é interminável. Para alguns céticos quanto ao trabalho apresentado, o autor afirma que as fórmulas foram criadas para gerar equações diferenciais de naturezas diversas.

Este trabalho deverá interessar aos cientistas do moviemnto que buscam nas equações diferenciais maneiras de compreender quantidades cuja taxa de variação é conhecida.

Liouville foi o primeiro matmeático a provar que algumas funções não são elementaresmente primitiváveis. Quando o autor iniciou o estudo sobre integrais contínuas, desejava encontrar as primitivas de funções não elementarmente primitiváveis e depois de incansáveis ataques, tudo o que pode encontrar foi a prova de que diversas funções especiais não são elementarmente primitiváveis.

Integral de Poisson, Logaritmo Integral, Integral de Dirichlet, Integral de Fresnel, entre outras, não possuem primitivas elementares ou simplesmente não são elementarmente primitiváveis:

Utilizando a Integral de Rodrigues do tipo $2$, temos que:
\begin{equation*}
\int \frac{\varphi(x)\ dx}{\displaystyle \int
 \frac{\varphi (x)\ dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi (x)\
dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi (x)\ dx}{\cdots}}}}= \psi(x)
\end{equation*}
onde $\psi(x)$ é a solução da equação diferencial:
\begin{equation*}
\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{d \psi(x)}{dx}
\end{equation*}
Resultando em:
\begin{equation*}
\int \varphi (x)dx = \int \psi (x) d \psi(x)
\end{equation*}
Se $\displaystyle \varphi (x)=\frac{1}{\log (x)}$, então:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{\log (x)} = \int \psi (x) d\psi (x)
\end{equation*}
Se $\displaystyle \varphi(x) = \frac{\text{sen}(x)}{x}$, então:
\begin{equation*}
\int \frac{\text{sen}(x)dx}{x} = \int \psi(x) d\psi(x)
\end{equation*}
Se $\displaystyle \varphi (x) = \sqrt{\text{sen}(x)}$, então:
\begin{equation*}
\int \sqrt{\text{sen}(x)}\ dx= \int \psi (x) d \psi (x)
\end{equation*}
Se $\displaystyle \varphi (x) = e^{x^{2}}$, então:
\begin{equation*}
\int e^{x^2} dx = \int \psi (x) d \psi (x)
\end{equation*}
Assim, podemos concluir que todas as funções não elementarmente primitiváveis possuem a mesma primitiva, ou seja:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{\log (x)} = \int \frac{\text{sen}(x)dx}{x} =\\
\ \\
\int \sqrt{\text{sen}(x)}\ dx = \int e^{x^2}dx=\int \psi (x) d \psi(x)
\end{equation*}
O que constitui um absurdo. Fica assim provado que elas não possuem primitivas elementares.

Exemplo $1$:

Seja a integral:
\begin{equation*}
\int\frac{dx}{\displaystyle \varphi(x)+\int \frac{dx}{\displaystyle \varphi(x)+\int \frac{dx}{\displaystyle \varphi (x)+ \int \frac{dx}{\varphi(x) \cdots}}}} = \psi(x)
\end{equation*}
onde $\psi(x)$ é a solução da equação diferencial $\left(\psi(x)\right)^\prime \left[\psi(x)+\varphi(x)\right] = 1$ e $\varphi(x)=1$.

Resolvendo esta equação diferencial, temos que:
\begin{equation*}
(1+\psi)\frac{d\psi}{dx}=1\\
\ \\
(1+\psi)d\psi - dx = 0\\
\ \\
(1+\psi)d \psi - dx = dc
\end{equation*}
Integrando, resulta em:
\begin{equation*}
\frac{(1+\psi)^2}{2}=x+c\\
\ \\
\psi = -1 \pm \sqrt{2x+k}
\end{equation*}
onde $k=2c$.

Portanto:
\begin{equation*}
\int\frac{dx}{\displaystyle \varphi(x)+\int \frac{dx}{\displaystyle \varphi(x)+\int \frac{dx}{\displaystyle \varphi (x)+ \int \frac{dx}{\varphi(x) \cdots}}}} = \psi(x)
\end{equation*}
e
\begin{equation*}
\psi(x)=-1\pm\sqrt{2x+k}
\end{equation*}

Exemplo $2$:

Seja a integral:
\begin{equation*}

\int \frac{\varphi(x)\ dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi (x)\ dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi (x)\ dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi (x)\ dx}{\cdots}}}} = \psi(x)
\end{equation*}
onde $\psi(x)$ é a solução da equação diferencial $\left(\psi(x)\right)^\prime \psi(x)=\varphi(x)$ Onde $\varphi(x)=x$

Resolvendo a equação diferencial:
\begin{equation*}
\psi \frac{d\psi}{dx}=x
\end{equation*}
resulta em:
\begin{equation*}
\psi(x)=\pm\sqrt{2x+k}
\end{equation*}

Observação: A integral $\displaystyle \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{2t+k}}=\sqrt{2x+k}$ fica  assim estabelecido por meio deste estudo a relação entre integrais simples e integrais contínuas de Rodrigues.

Link para o artigo: http://bit.ly/Int_Cont_Rod

O autor:

Augusto Gabriel Rodrigues é pesquisador em Ciências Físico-Matemáticas da Universidade Agostinho Neto em Luanda, Angola.

Contato por e-mail: joylizqueen@gmail.com




Veja mais:

O Cálculo integral
Integração por partes
Integração por substituição
Integração por frações parciais - Parte 1
Integração por frações parciais - Parte 2
Integração por substituição trigonométrica
Fórmula de redução para alguns casos de integrais 



06/08/2017

A matemática do malabarismo

A imagem retirada de um túmulo egípcio de quatro mil anos atrás mostra a primeira representação visual de uma das artes mais típicas do circo, o malabarismo. Mas qual a relação do malabarismo com a Matemática?

A primeira interseção entre ambos ocorreu no século $X$, com o geômetra Abu Sahl Al-Kuhi. De acordo com dados históricos, antes de se dedicar ao ofício que lhe fez famosa, Abu era conhecido por seus malabarismos com garrafas nos mercados da cidade de Bagdá.

A partir do século $XX$, quando o malabarismo deixou de ser praticado quase que exclusivamente por profissionais circenses e passou a ser também um hobby, a relação entre malabarismo e matemática passou a se desenvolver mais rapidamente. Foi aí que matemáticos de todo o mundo começaram a treinar e a estudar o malabarismo e suas inúmeras combinações. Os pesquisadores que se debruçaram sobre a atividade desenvolveram novos padrões e técnicas.

Um dos principais entusiastas dessa união foi o matemático Claude Shannon $(1916-2001)$. Considerado um dos criadores da Teoria da Informação, ele também é o pai do “teorema dos malabares”, que correlaciona o tempo que os objetos ficam no ar com o tempo que elas ficam nas mãos do malabarista, provando a importância da velocidade das mãos no sucesso da empreitada. O teorema tem a seguinte fórmula:
\begin{equation*}
(F+D)H=(V+D)N
\end{equation*}
Sendo $F$ o tempo que o objeto fica no ar; $D$ o tempo que o objeto fica na mão; $H$ o número de mãos; $V$ o tempo que a mão fica vazia e $N$ o número de objetos jogados no ar.


De forma resumida, o malabarismo é uma sequência de lançamento de projéteis em certos padrões, com cada objeto seguindo um arco parabólico que pode seguir três modelos: A Cascata, na qual um número ímpar de objetos é lançado de uma mão para a outra; a Fonte, quando um número par de objetos é lançado em duas colunas; e o Chuveiro, situação em que todos os objetos são lançados em um círculo.

Atualmente os estudos sobre essa união continuam a ser publicados em periódicos matemáticos. O pesquisador Burkard Polster, da Universidade Monash, na Austrália, escreveu sobre o assunto em $2002$ no livro “Mathematics and juggling”. “A sensação que tenho quando eu vejo uma bela equação é a mesma que eu tenho quando vejo um padrão bonito com malabares”, disse Polster à Revista Quanta.

Referências:

[1] https://impa.br/page-noticias/a-matematica-do-malabarismo/
[2] Matemática e malabarismo, Antônio Machiavelo
[3] https://www.qedcat.com/articles/juggling_survey.pdf

Veja mais:

O teorema de Stewart
O teorema de Bayes
O teorema de Hardy-Weinberg


05/08/2017

Ilusão de Óptica: $6$ ou $7$ cubos?

Nesta ilusão de óptica é possível vermos $6$ ou $7$ cubos dependendo da forma que observamos a figura.



Os cubos serão $6$ se observarmos a face preta como base superior do prisma. E serão $7$ se observarmos a face preta como base inferior.

Referências:

[1] As Maravilhas da Matemática, Malba Tahan

Veja mais:

O peso de uma distância
A pirâmide humana de Newton
As 9 multiplicações com os 9 algarismos


01/08/2017

A superfície Costa

A Superfície Costa é uma das superfícies mínimas e foi descoberta em $1982$, pelo matemático brasileiro Celso José da Costa, como parte de sua tese de doutorado no IMPA. Em $1984$ J. Hoffman, D. Hoffman e W. W. Meeks, da Universidade de Massachusetts, conseguiram criar sua imagem computacional.



Os únicos exemplares de sua classe conhecidos até então eram o catenoide (Leonhard Euler, $1760$), o helicoide (Jean Baptiste Meusnier, $1776$) e o plano.

Celso José da Costa nasceu em Congonhinhas, Paraná, a $7$ de abril de $1949$. Obteve doutorado no Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), Rio de Janeiro, em dezembro de $1982$, com uma tese na área de geometria diferencial. O resultado principal de sua tese foi a prova da existência de uma superfície mínima e completa no espaço euclidiano tridimensional com a topologia do toro menos três pontos.


Realizou estágio de Pós-Doutorado na Universitè de Paris VII-França, $(1986-1987)$, foi professor visitante da Universitè de Chambery-França $(1987-1988)$, da Universitè de Grenoble-França $(1988-1989)$ e foi Directeur de Recherches do CNRS em $1989$. Atualmente é professor titular da Universidade Federal Fluminense, onde lidera um grupo de pesquisa em geometria diferencial. Sua atividade de pesquisa centra-se principalmente na construção e classificação de superfícies mínimas completas e mergulhadas no espaço euclidiano tridimensional, e mais geralmente superfícies completas imersas em espaços de formas.

A superfície mínima descoberta em sua tese resolveu um antigo problema na área das superfícies mínimas. Concretamente, ele encontrou uma quarta superfície mínima, agora denominada internacionalmente como Costa's Surface (Superfície Costa).

Uma superfície imersa no espaço euclidiano é dita mínima se todo ponto da superfície tem uma vizinhança que é uma superfície de menor área com respeito ao seu bordo. Neste sentido tais superfícies são a generalização bidimensional das geodésicas.

As três superfícies mínimas, anteriormente conhecidas, eram o plano, o catenoide (Euler - $1764$) e o helicoide (Meusnier - $1776$). Os trabalhos científicos do prof. Celso J. Costa tem dado grande impulso ao entendimento das superfícies mínimas completas e mergulhadas no espaço euclidiano tridimensional e estão publicados em revistas de excelente nível. Em vista da qualidade destes resultado recebeu em $1998$ do Ministério da Ciência e Tecnologia em $1998$ a medalha "Ordem do Mérito Científico na classe de Comendador".

Referências:

[1] http://www.ime.uff.br
[2] SBM - Sociedade Brasileira de Matemática
[3] Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada
[4] http://www.abc.org.br/~cjcosta
[5] http://buscatextual.cnpq.br/buscatextual/visualizacv.do?id=K4787442H2

Veja mais:

A fórmula de Euler para poliedros convexos
Caten, catenárias em movimento
A primeira garrafa de Klein



29/07/2017

A morte de Riemann

Riemann era filho de um pastor luterano e tinha problemas de saúde desde a infância. Mesmo com a família em condições financeiras precárias, seu pai conseguiu proporcionar-lhe uma boa educação que começou na Universidade de Göttingen e continuou na Universidade Humboldt de Berlim. Obteve o doutorado na Universidade de Göttingen, com uma tese no campo da teoria das funções complexas. Na tese encontramos as equações diferenciais de Cauchy-Riemann, que garantem a análise de uma função de variável complexa e o conceito de superfícies de Riemann, que trouxe considerações topológicas à análise. Com uma definição própria - Integral de Riemann -, tornou mais claro o conceito de integrabilidade abrindo caminho para a generalização deste conceito no século $XX$ e daí para horizontes mais amplos como a relatividade geral.


Georg Friedrich Bernhard Riemann nasceu em $17$ de setembro de $1826$ em Breselenz, Alemanha e morreu dia $20$ de julho de $1866$ em Selasca, Itália.

Nenhuma grande mente do passado exerceu uma influência tão profunda sobre os matemáticos do século $XX$ quanto Brenhard Riemann. Ele estudou os trabalhos de Euler e de Legendre quando ainda estava no curso secundário e diz-se que ele dominou o tratado de Legendre sobre a Teoria dos Números em menos de uma semana. Mas ele era tímido e modesto, com pouca consciência de suas habilidades extraordinárias, tanto que aos dezenove anos foi para a Universidade de Göttingen com o objetivo de estudar Teologia e tornar-se um clérigo. Felizmente, essa proposta logo subiu-lhe à garganta e com a permissão de seu pai mudou para a Matemática.

A presença do legendário Gauss fez de Göttingen o centro do mundo matemático. Mas Gauss era distante e inacessível e, depois de apenas um ano, Riemann deixou esse ambiente insatisfatório e foi para a Universidade de Berlim. Lá atraiu o interesse amigável de Dirichlet e de Jacobi, aprendendo muito de ambos.

Dois anos após, retornou a Göttingen, onde obteve o grau de doutor em $1851$. Durante os oito anos seguintes, suportou uma pobreza debilitante e criou suas maiores obras. Em $1854$ foi nomeado "Privatdozent" (conferencista não-remunerado), que naquele tempo era o primeiro degrau necessário para a escalada acadêmica.

Gauss morreu em $1855$ e Dirchlet foi chamado a Göttingen como seu sucessor. Dirichlet ajudor Riemann como pôde. Primeiro com um pequeno salário (cerca de $1/10$ do que ganhava um professor titular) e depois com uma promoção a professor assistente. Em $1859$ ele também morreu e Riemann foi nomeado professor titular para substituí-lo. Os anos de pobreza de Riemann acabaram-se, mas sua saúde estava abalada. Aos trinta e nove anos morreu de tuberculose na Itália, na última das várias viagens que fez para fugir do clima frio e úmido do norte da Alemanha.

Riemann teve uma vida curta e publicou relativamente pouco, mas seus trabalhos alteraram permanentemente o curso da Matemática na Análise, Geometria e Teoria dos Números.

Referências:

[1] Cálculo com Geometria Analítica V1 - Simmons
[2] Wikipédia - Bernhard Riemann

Veja mais:

As equações de Cauchy-Riemann
Dirichlet e os números primos
A soma de Gauss

19/07/2017

A Pedra de Roseta

No dia $19$ de julho de $1799$, era encontrada no Egito pelas tropas napoleônicas a Pedra de Roseta, que tornaria possível a compreensão de toda a matemática egípcia

A Pedra de Roseta é um fragmento de uma estela de granodiorito do Egito Antigo, cujo texto foi crucial para a compreensão moderna dos hieróglifos egípcios. Sua inscrição registra um decreto promulgado em $196\ a.C.$, na cidade de Mênfis, em nome do rei Ptolomeu $V$, registrado em três parágrafos com o mesmo texto: o superior está na forma hieroglífica do egípcio antigo, o trecho do meio em demótico, variante escrita do egípcio tardio, e o inferior em grego antigo.


Exibida originalmente dentro de um templo, a estela provavelmente foi removida durante os períodos cristão ou medieval, e finalmente terminou sendo usada como material na construção de um forte na cidade de Roseta (Rashid), no delta do Nilo. Foi redescoberta ali em $1799$ por um soldado integrante da expedição francesa ao Egito, liderada por Napoleão. Primeiro texto bilíngue a ser recuperado na história moderna, a Pedra de Roseta logo despertou grande interesse pela possibilidade de conter uma tradução da antiga língua egípcia, até então nunca decifrada. Cópias litografadas e de gesso passaram a circular entre museus e acadêmicos europeus. Neste meio tempo, tropas britânicas derrotaram os franceses no Egito, em $1801$, e a pedra acabou passando para a posse do Reino Unido, de acordo com a Capitulação de Alexandria. Transportada para Londres, está em exibição ao público no Museu Britânico desde $1802$, onde é o objeto mais visitado.

O estudo do decreto já estava bem avançado quando a primeira tradução completa do texto grego surgiu, em $1803$. Somente $20$ anos depois, no entanto, foi feito o anúncio da decifração dos textos egípcios por Jean-François Champollion, em $1822$; muito tempo ainda se passou até que os estudiosos pudessem ler outras antigas inscrições egípcias e compreender sua literatura com alguma confiança. Os principais fatores para esta decodificação foram: a descoberta de que a Pedra oferecia três variantes do mesmo texto $(1799)$; que o texto em demótico utilizava caracteres fonéticos para soletrar os nomes estrangeiros $(1802)$; que o texto em hieróglifos não só também o fazia, como tinha semelhanças profundas com o demótico (Thomas Young, $1814$); e que, além de serem utilizados para soletrar estes nomes, os caracteres fonéticos também eram utilizados para soletrar palavras nativas do egípcio (Champollion, $1822–1824$). Desde sua redescoberta, a Pedra tem sido alvo de rivalidades nacionalistas, incluindo sua transferência da França para o Reino Unido durante as Guerras Napoleônicas, a antiga disputa sobre o valor relativo das contribuições de Young e Champollion para a decifração, e, desde $2003$, a reivindicação de retorno feita pelo Egito.

Duas outras cópias fragmentárias do mesmo decreto foram descobertas mais tarde, e diversas inscrições bilíngues ou trilíngues semelhantes foram descobertas posteriormente, incluindo dois decretos Ptolomaicos um pouco anteriores (o Decreto de Canopo, de $238\ a.C.$, e o decreto de Mênfis de Ptolomeu $IV$, $c.\ 218\ a.C.$. A Pedra de Roseta, portanto, não tem mais o valor de ser única, porém foi essencial para a compreensão moderna da literatura e da civilização do Egito Antigo. O termo Pedra de Roseta é utilizado hoje em dia em outros contextos, para se referir a alguma informação essencial de um campo novo de conhecimento.

Referências:

https://pt.wikipedia.org/wiki/Pedra_de_Roseta
http://www.history.com/this-day-in-hist…/rosetta-stone-found

Veja mais:

A multiplicação egípcia
Os primeiros matemáticos
Lagrange: A grande pirâmide da Matemática 



16/07/2017

A fórmula de Euler para poliedros convexos

A fórmula de Euler para poliedros, também conhecida apenas como relação de Euler, foi demonstrada e publicada entre $1750$ e $1751$ pelo magnífico matemático suíço Leonhard Euler.


O que diz?

Os números de faces, arestas e vértices de um sólido não são independentes, mas estão relacionados de uma maneira simples.

Por que é importante?

Distingue sólidos com diferentes topologias usando o exemplo mais antigo de invariante topológico. Isso pavimentou o caminho para técnicas mais gerais e mais poderosas, criando um novo ramo da matemática.

Qual foi a consequência?

Uma das mais importantes e poderosas áreas da matemática pura: a topologia, que estuda propriedades geométricas que permanecem inalteradas por deformações contínuas.

Exemplos incluem superfícies, nós e laços. A maioria das aplicações é indireta, mas sua influência nos bastidores é vital. Ajuda-nos a compreender como enzimas agem sobre o DNA numa célula, e por que o movimento dos corpos celestes pode ser caótico.

Um pouco de história

A topologia teve suas raízes em um curioso padrão numérico percebido por Descartes em $1639$, quando trabalhava com os sólidos de Euclides. Ele notou que um cubo tem $6$ faces, $12$ arestas e $8$ vértices, cuja soma $6-12+8=2$. A mesma relação ocorria no dodecaedro, sendo $12$ faces, $30$ arestas e $20$ vértices, cuja soma $20-30+12=2$.

Descartes percebeu que esta relação valia para os demais poliedros regulares. Sendo um sólido com $F$ faces, $A$ arestas e $V$ vértices, então vale a relação:
\begin{equation}
F-A+V=2
\end{equation}
No entanto, Descartes não publicou essa fórmula e encarou o problema apenas como uma curiosidade, ficando a glória de sua demonstração e publicação entre $1750$ e $1751$ a cargo do infatigável Euler, o matemático mais prolífero da história.

Essa relação é válida para todo poliedro convexo, mas existem alguns poliedros não convexos para os quais ela também pode ser verificada. Dessa forma, pode-se dizer que todo poliedro convexo é Euleriano (isso significa que para ele vale a relação de Euler), mas nem todo poliedro Euleriano é convexo.

Os Sólidos de Platão

Os sólidos de Platão são poliedros regulares convexos, cujas faces são formadas por polígonos regulares do mesmo tipo. Existem apenas $5$ desses sólidos e vale a relação de Euler:



Referências:

[1] As 17 equações que mudaram o mundo - Ian Stewart




15/07/2017

Morre a matemática iraniana Maryam Mirzakhani

A única mulher a ganhar a Medalha Fields foi a matemática iraniana Maryam Mirzakhani, que morreu em $15$ de julho de $2017$, aos $40$ anos, de câncer de mama, em um hospital dos Estados Unidos. Ela lutava contra a doença havia quatro anos. O estado de saúde de Maryam piorou quando a medula óssea foi atingida.



Maryam nasceu a $3$ de maio de $1977$ em Teerã, Irã e faleceu dia $15$ de julho de $2017$ nos Estados Unidos.

Professora da Universidade de Stanford, nos Estados Unidos, Maryam recebeu o prêmio máximo da área em $2014$, no mesmo ano em que o brasileiro Artur Avila. Na ocasião, foi reconhecida por “suas contribuições notáveis para a dinâmica e geometria das superfícies de Riemann e seus espaços modulares." Ao receber o e-mail informando sobre a Fields, achou que fora hackeada e disse “não ter feito nada realmente muito notável” para receber o prêmio.

Dezenove anos antes, em $1995$, Maryam e Artur já haviam conquistado o mesmo feito: ouro na Olimpíada Internacional de Matemática (IMO). Foi o segundo ouro recebido na IMO. Na competição, ela também atingiu a nota perfeita.

A mulher que sonhava ser escritora, descobriu a Matemática no Ensino Médio. E, em sua curta vida, trouxe contribuições importantes e um pioneirismo ímpar em uma área ainda predominantemente masculina.

“[Matemática] é divertida - é como resolver um quebra-cabeça ou conectar os pontos em um caso de detetive”, disse à publicação Stanford Report, logo após ganhar a Medalha Fields. "Eu senti que isso era algo que eu poderia fazer, e eu queria seguir esse caminho", declarou Maryam, que era uma figura importante no Irã, mas sofria censura e preconceito por não usar o véu islâmico.

Maryam fez graduação em Matemática na Sharif University of Technology em $1999$ e doutorado na mesma área em Harvard, em $2004$. Foi nos Estados Unidos que ela conheceu Curtis McMullen, Medalha Fields que se tornou seu mentor e orientador. Fez estágio no Instituto Clay de Matemática e conquistou uma vaga de professora assistente na Universidade de Princeton. Em $2008$, entrou na Universidade de Stanford como professora titular, onde se dedicou às pesquisas em topologia e geometria de superfícies abstratas.

Em carta publicada pela agência de notícias IRNA, em $13$ de julho, Mohammad-Ali Najafi, ex-ministro da Educação e atual assessor do presidente do Irã, Hassan Rouhani, pediu que os iranianos rezassem por ela e disse que, perdê-la em uma idade tão nova “traria uma imensa tristeza ao mundo da Matemática e à comunidade científica iraniana”.

Segundo o ex-ministro, Maryam poderia ainda “dar contribuições inestimáveis no reconhecimento e na compreensão das ciências matemáticas”. E a comparou a Emmy Emmy Noether, matemática alemã conhecida por suas contribuições históricas para álgebra abstrata e física teórica.

“Mirzakhani é uma joia para todas as mulheres iranianas e para todas as mulheres em todo o mundo. Ela é um modelo para ser humilde e humano, bem como suas habilidades intelectuais e acadêmicas”, escreveu o ex-ministro antes da morte de Maryam, acrescentando: "Mas o que me impressionou ainda mais do que o seu gênio são suas virtudes que a tornaram um ser humano completo. Ao longo dos anos, viajou para o Irã várias vezes para compartilhar seus resultados de pesquisa com matemáticos iranianos, ela ama seu país”.

Além da medalha Fields, Maryam recebeu o Prêmio Blumenthal 2009 para o Avanço da Pesquisa em Matemática Pura e o Prêmio Satter $2013$ da American Mathematical Society.

Prêmios e Honras

■ Gold medal. International Mathematical Olympiad (Hong Kong 1994)
■ Gold medal. International Mathematical Olympiad (Canada 1995)
IPM Fellowship, Tehran, Iran, 1995–1999
■ Merit fellowship Harvard University, 2003
■ Harvard Junior Fellowship Harvard University, 2003
■ Clay Mathematics Institute Research Fellow 2004
■ AMS Blumenthal Award 2009
■ Invited to talk at the International Congress of Mathematicians in 2010, on the topic of "Topology and Dynamical Systems & ODE"
■ The 2013 AMS Ruth Lyttle Satter Prize in Mathematics. "Presented every two years by the American Mathematical Society, the Satter Prize recognizes an outstanding contribution to mathematics research by a woman in the preceding six years. The prize was awarded on 10 January 2013, at the Joint Mathematics Meetings in San Diego."
■ Named one of Nature magazine's ten "people who mattered" of 2014
Clay Research Award 2014
Plenary speaker at the International Congress of Mathematicians (ICM 2014)
Fields Medal 2014
■ Elected foreign associate to the French Academy of Sciences in 2015
■ Elected to the American Philosophical Society in 2015
National Academy of Sciences 2016
■ Elected to the American Academy of Arts and Sciences in 2017

Publicações:

Invariant and stationary measures for the SL(2,R) action on Moduli space
Isolation, equidistribution, and orbit closures for the SL(2,R) action on Moduli space
Towards large genus asymtotics of intersection numbers on moduli spaces of curves
Counting closed geodesics in strata
Growth of Weil-Petersson volumes and random hyperbolic surfaces of large genus. J. Differential Geom., Volume 94, 2 (2013), 267-300
Counting closed geodesics in Moduli space. J. Mod. Dyn. 5 (2011), no. 1, 71--105
Lattice Point Asymptotics and Volume Growth on Teichm\"uller space. Duke Math. J. 161 (2012), no. 6, 1055--1111
Ergodic theory of the space of measured laminationsi, Int. Math. Res. Not. (4) 2008
Ergodic theory of the earthquake flow, IMRN (2008) Vol. 2008
Growth of the number of simple closed geodesics on hyperbolic surfaces, Ann. of Math.(2), 168(1) (2008) 97--125
Weil-Petersson volumes and intersection theory on the moduli space of curves, J. Amer. Math. Soc. 20:1(2007), 1--23
Simple geodesics and Weil-Petersson volumes of moduli spaces of bordered Riemann surfaces, Invent. Math. 167 (2007), 179--222
Random hyperbolic surfaces and measured laminations. In the tradition of Ahlfors-Bers. IV, 179--198, Contemp. Math., 432, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007

Site oficial de Maryam

http://mmirzakhani.com/

Referências:

[1] IMPA
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Maryam_Mirzakhani
[3] Department of Mathematics Stanford University 

Veja mais:

Elon Lages Lima
O número de Erdös-Bacon-Sabbath
John Nash e o filme Uma Mente Brilhante

20/05/2017

O problema da Flor de Timaridas

O problema da Flor de Timarida, também conhecida como Epantema, aparece no livro de Howard Eves, Introdução à História da Matemática, página $224$, exercícios $6.12(a)$ e $6.14(c)$. Trata-se de resolver um problema de quantidade, quando uma quantidade particular aparece em mais de uma soma.


Timaridas de Paros $(400-350a.C.)$ foi um matemático grego do século $IV\ a.C.$ e um dos pitagóricos. Embora pouco se sabe sobre a vida de Timaridas, acredita-se que ele fora um homem rico e que caiu na pobreza. Diz-se que Thestor de Poseidonia viajou a Paros a fim ajudar a Timaridas com o dinheiro que foi coletado para ele.

Iamblichus $(245-325)$ afirma que Timaridas chamava os números primos de "retilíneo" uma vez que só pode ser representado em uma linha unidimensional. Os números não-primos, por outro lado, podem ser representados em um plano bidimensional como os lados de um retângulo que, quando multiplicados, produzem o número não-primo em questão. Ele também chamou o número $1$ de "quantidade limitante".

Iamblichus em seus comentários para Introductio arithmetica afirma que Timaridas deu uma regra muito interessante para resolver um caso particular de sistema de $n$ equações com $n$ incógnitas. A regra tornou-se muito conhecida em sua época e recebeu o nome de Flor de Timaridas. Vejamos como esta regra é descrita:

Seja dada uma soma de $n$ quantidades, bem como a soma dos pares que contém uma quantidade particular delas; então, essa quantidade particular é igual a $\displaystyle \frac{1}{n-2}$ vezes a diferença entre a soma de todos os pares e a primeira soma.

Em notação moderna, podemos escrever essa regra como:
\begin{equation*}
x + x_1 + x_2 + \cdots + x_{n-1} = S\\
\ \\
x + x_1 = m_1\\
\ \\
x + x_2 = m_2\\

\vdots
\ \\
x + x_{n-1} = m_{n-1}
\end{equation*}
e dado por:
\begin{equation*}
x = \frac{\left(m_1 + m_2+ \cdots + m_{n-1}\right)-S}{n-2}
\end{equation*}

Como forma de ilustrar a aplicação desta regra, tomemos o problema a seguir.

Problema $1$:

Problema $6.14(c)$, Eves. Faça uma coroa de ouro, cobre, estanho e ferro pesando $60\ minae$ de modo que o ouro e o cobre juntos constituam $23$ da coroa; o ouro e o estanho, $3/4$; e o ouro e o ferro, $3/5$. Encontre o peso de cada metal necessário para a produzir esta coroa.

Seja o ouro = $O$, o cobre = $C$, o estanho = $E$ e o ferro = $F$. Temos então que:
\begin{equation}
O+C+E+F=60\ minae
\end{equation}
O ouro e o cobre juntos devem constituir $2/3$ da coroa. Assim:
\begin{equation}
O+C = \frac{2}{3}\cdot 60 = 40\ minae
\end{equation}
O ouro e o estanho juntos devem constituir $3/4$ da coroa. Assim:
\begin{equation}
O+E=\frac{3}{4} \cdot 60 = 45\ minae
\end{equation}
O ouro e o ferro juntos devem constituir $3/5$ da coroa. Assim:
\begin{equation}
O+F=\frac{3}{5} \cdot 60 = 36\ minae
\end{equation}
Obtemos de $(1)$, $(2)$, $(3)$ e $(4)$ um sistema de $4$ equações e $4$ incógnitas:
\begin{cases}
O & + & C & + & E & + & F & = & 60\\
O & + & C & & & &&= & 40\\
O & & & + & E&&& = & 45\\
O &&&&&+&F&=&36
\end{cases}
Vamos, então, aplicar a regra da Flor de Timaridas a fim de encontrar a quantidade de ouro e dos outros metais utilizados na produção da coroa.

Primeiramente devemos identificar cada parte do problema e onde aplicar na regra.

O sistema de equações formado é dado por $4$ incógnitas e $4$ equações assim:
\begin{equation}
n= 4
\end{equation}
A primeira soma citada na regra é a soma dada em $(1)$:
\begin{equation}
O+C+E+F=60
\end{equation}
Os pares que contém uma quantidade particular são dados pelas somas $(2)$, $(3)$ e $(4)$, sendo o ouro esta quantidade de metal em comum. Somando todos estes pares, obtemos:
\begin{equation}
40 + 45 + 36 = 121
\end{equation}
Vamos aplicar na regra para obter primeiramente a quantidade de ouro:
\begin{equation*}
O = \frac{1}{n-2} \times \left[ (soma\ dos\ pares) - (primeira\ soma) \right]\\
\ \\
O = \frac{1}{4-2} \times \left[121 - 60 \right]\\
\ \\
O = \frac{1}{2} \times 61\\
\ \\
O = \frac{61}{2} = 30,5\ minae\ de\ ouro
\end{equation*}
Mas vamos manter esta quantidade em forma de fração para os próximos cálculos.

Tomando a equação $(2)$, encontramos a quantidade de cobre utilizada na coroa:
\begin{equation*}
O+C=40\\
\ \\
\frac{61}{2} + C = 40\\
\ \\
C=40 - \frac{61}{2}\\
\ \\
C=\frac{19}{2}\ minae\ de\ cobre
\end{equation*}
Tomando a equação $(3)$, encontramos a quantidade de estanho utilizada na coroa:
\begin{equation*}
O + E = 45\\
\ \\
\frac{61}{2} + E = 45\\
\ \\
E = 45 - \frac{61}{2}\\
\ \\
E = \frac{29}{2}\ minae\ de\ estanho
\end{equation*}
Tomando a equação $(4)$, encontramos a quantidade de ferro utiizado na coroa:
\begin{equation*}
O + F = 36\\
\ \\
\frac{61}{2} + F = 36\\
\ \\
F = 36 - \frac{61}{2}\\
\ \\
F = \frac{11}{2}\ minae\ de\ ferro
\end{equation*}
Se somarmos todas as quantidades, devemos obter o peso todal da coroa, que é de $60\ minae$:
\begin{equation*}
O + C + E + F = 60\\
\ \\
\frac{61}{2} + \frac{19}{2} + \frac{29}{2} + \frac{11}{2} = 60\\
\ \\
\frac{120}{2} = 60\\
\ \\
60 = 60
\end{equation*}
Como queríamos.

Problema $2$:

Newton $(N)$, Gauss $(G)$ e Euler $(E)$ pesam juntos $232\ kg$. Newton e Gaus pesam juntos $160\ kg$; já Newton e Euler pesam juntos $148\ kg$. Calcular o peso de cada um desses matemáticos.

A partir do enunciado, podemos montar um sistema de equações com $3$ equações e $3$ incógnitas:
\begin{cases}
N & + & G & + & E &  = & 232\\
N & + & G & & &= & 160\\
N & & & + & E& = & 148\\
\end{cases}
Neste caso, temos que $n=3$; a primeira soma é $232$ e a soma dos pares é dada por $160+148=308$. Assim, o peso de Newton será dado po:
\begin{equation*}
N = \frac{1}{3-2} \times (308 - 232)\\
\ \\
N = 76
\end{equation*}
O peso de Gauss será dado por:
\begin{equation*}
N + G = 160\\
\ \\
76 + G = 160\\
\ \\
G = 84
\end{equation*}
E o peso de Euler será dado por:
\begin{equation*}
N+E=148\\
\ \\
76+E=148\\
\ \\
E = 72
\end{equation*}
Assim, os pesos de Newton, Gauss e Euler são $76\ kg$, $84\ kg$ e $72\ kg$, respectivamente.

Referências:

[1] Introdução à História da Matemática - Howard Eves, Editora Unicamp

Veja mais:

A regra de sinais, segundo Diofanto
O método da Falsa Posição
Frações unitárias



09/05/2017

Elon Lages Lima - Nota de falecimento

Morre o matemático brasileiro Elon Lages Lima, ex-diretor do IMPA, aos $87$ anos, no Rio de Janeiro.

Elon Lages Lima nasceu a $9$ de julho de $1929$ em Maceió, Alagoas, Brasil  e faleceu no Rio de Janeiro, no dia $7$ de maio de $2017$.


Elon Jages Lima foi um matemático, mestre e doutor (PhD) pela Universidade de Chicago, ganhador por duas vezes do Prêmio Jabuti da Câmara Brasileira do Livro e recebedor do Prêmio Anísio Teixeira do Ministério da Educação. Seus trabalhos de pesquisa envolvem topologia diferencial, topologia algébrica, e geometria diferencial. Seu estilo matemático foi fortemente influenciado pelo de Bourbaki.

Um dos mais importantes e prolíficos autores de livros de matemática no país, Elon Lages Lima, ex-diretor do IMPA (Instituto de Matemática Pura e Aplicada), morreu numa manhã de domingo, aos $87$ anos, no Rio de Janeiro.

Matemático de ponta, o alagoano Elon deu contribuição fundamental à literatura matemática brasileira, com mais de $40$ livros, e recebeu duas vezes o Prêmio Jabuti de Ciências Exatas, da Câmara Brasileira do Livro. Ele também desempenhou o papel de mentor e inspirador de jovens matemáticos de grande destaque no país, como o ganhador da Medalha Fields Artur Avila, Carlos Gustavo Moreira, o Gugu (ambos do IMPA), Ralph Teixeira (UFF) e Nicolau Saldanha (PUC-Rio), entre outros.

"Eu era aluno de graduação, em Portugal, quando ouvi falar de Elon pela primeira vez, por meio de seus livros. Ninguém, nos dois países, contribuiu como ele para a criação de uma literatura matemática em língua portuguesa", afirmou o diretor-geral do IMPA, Marcelo Viana. Para o ex-diretor do IMPA Jacob Palis, Elon "foi um excelente matemático, escritor e didata". "Ele deu uma contribuição muito grande ao IMPA, desde o início, integrando um grupo pequeno e de alta qualidade."

Membro titular da Academia Brasileira de Ciências desde 1963, foi diretor do IMPA em três períodos $(1969-71, 79-80$ e $1989-93)$, presidente da Sociedade Brasileira de Matemática $(1973-75)$ e integrou o Conselho Nacional de Educação e o Conselho Superior da Faperj. Recebeu a Ordem do Mérito Científico na Classe Grã-Cruz, da Presidência da República, e o Prêmio Anísio Teixeira, do MEC.

O jovem Elon fez sua formação inicial no Ceará e no Rio de Janeiro. Ao chegar ao Rio, presenciou a fundação do IMPA, por Leopoldo Nachbin e Maurício Matos Peixoto. Obteve os graus de mestrado e doutorado na prestigiosa Universidade de Chicago, onde especializou-se em Topologia Algébrica, entre $1954$ e $1958$, e recebeu o Prêmio Edna M. Allen.

Após voltar ao Brasil, tornou-se pesquisador do IMPA. Com uma bolsa Guggenheim, esteve em Princeton e Columbia e foi influenciado pelo norte-americano Stephen Smale, ganhador da medalha Fields. Nessa época, obteve resultados pioneiros no campo de vetores comutativos. Foi professor da UnB, de onde pediu demissão em $1965$, após o início do Regime Militar. Foi Elon que abriu o caminho para outros pesquisadores do IMPA, como Jacob Palis e César Camacho, serem orientados por Smale - hoje pesquisador honorário do IMPA.

Além de pesquisador de alto nível, Elon sempre compreendeu a importância da divulgação da Matemática e da formação de professores, áreas em que desempenhou um papel de protagonista nacional. Colaborou para estruturar os cursos de licenciatura, bacharelado e pós-graduação Universidade Federal do Ceará, de onde recebeu, em $89$, o título de Professor Honoris Causa. Ele também era doutor Honoris Causa da Universidade Federal de Alagoas.

Idealizou e dirigiu as coleções "Projeto Euclides" e "Coleção Matemática Universitária" e foi o criador, em $1990$, do PAPMEM (Programa de Formação e Aperfeiçoamento de Professores do Ensino Médio), que continua ativo e já beneficiou mais de $20$ mil professores do país. Talvez porque tenha sido justamente na Educação Básica o início de sua brilhante trajetória de matemático, como professor, aos $18$ anos, no Ginásio Farias Brito e no Colégio Estadual do Ceará.

Elon era casado com Carolina Celano e tinha cinco filhas da primeira união, com Valdece. Foi sepultado às 16h desta segunda-feira $(8)$, no Cemitério da Penitência, no Caju.

Livros:

Álgebra Exterior
Álgebra Linear
Análise Real, vols. 1, 2 e 3
Análise em Rn
Cálculo Tensorial
Coordenadas no Espaço
Coordenadas no Plano
Curso de Análise, vols. 1 e 2
Elementos de Topologia Geral
Introdução à Topologia Diferencial
Espaços Métricos
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Grupo Fundamental e Espaços de Recobrimento
Homologia Básica
Variedades Diferenciáveis
Isometrias
Logaritmos
Meu Professor de Matemática e Outras Histórias
Medida e Forma Em Geometria Comprimento, área, Volume e Semelhança
Temas e problemas
A Matemática do Ensino Médio
Matemática e Ensino

Notas:

▪ Uma nota de pesar pode ser lida no site do IMPA.

▪ Postagem sobre seu falecimento pode ser lida também no Facebook.

▪ A SMB publicou em sua página um depoimento do Professor Jonas Gomes.

Referências:

[1] IMPA - Nota de pesar
[2] SMB - Depoimento do Professor Jonas Gomes
[3] https://pt.wikipedia.org/wiki/Elon_Lages_Lima

06/05/2017

06 de Maio - Dia Nacional da Matemática

O Dia Nacional da Matemática é comemorado hoje, dia $06$ de maio. A data foi escolhida para homenagear Malba Tahan, pseudônimo do professor de Matemática Julio César de Mello e Souza, que nasceu no Rio de Janeiro, em $1895$, e faleceu em $1974$, no Recife, aos $79$ anos.


Autor de mais de uma centena de livros, escreveu sobre Matemática Recreativa, Didática da Matemática, História da Matemática e Literatura Infanto-juvenil. Seus livros ensinam conceitos de Matemática e mostram que a disciplina pode ser uma divertida e desafiante aventura quando estudada de forma dinâmica e criativa. Daí ele ter recorrido a aventuras misteriosas, com beduínos, xeiques, vizires, magos, princesas e sultões. Sua obra mais famosa é "O Homem que Calculava", que foi traduzido para doze idiomas.

A data foi instituída em $2004$, pelo projeto de Lei nº $3.482/2004$, de autoria da deputada professora Raquel Teixeira e foi aprovada por unanimidade pela Comissão de Educação e Cultura. Desde $2008$ encontra-se na Comissão de Constituição e Justiça para homologação final que institui o dia $06$ de maio como o Dia Nacional da Matemática.

Veja mais:

O peso de uma distância
A pirâmide humana de Newton
As nove multiplicações com os 9 algarismos



15/04/2017

Caten, catenárias em movimento

Caten é uma escultura cinética do artista David Letellier, criada para a igreja de Vieux Saint-Sauveur (Caen, França), um marco do Festival Interstice de $2012$.


Caten é uma escultura em levitação, composta por $300$ finos fios que estão suspensos por meio de duas cordas que se estendem ao longo da nave principal da Igreja.

As cordas e fios são arqueados pela força da gravidade e são controlados por quatro motores que podem variar a configuração dos fios de forma intermitente.


Ao mesmo tempo, Caten toca uma melodia inspirada em salmos religiosos medievais, em particular os primeiros versos de Ut Queant Laxis, um Hino a San Juan Bautista, cujas letras servem ao monge Guido de Arezzo para nomear as notas musicais.

 


A instalação emite uma cadência das quatro primeiras notas da escala, criando uma série de intervalos determinados, mas constantemente reconfigurados de forma aleatória.


O nome desta escultura é inspirado na curva matemática de nome catenária, que é a curva gerada quando um fio homogêneo é suspenso por suas extremidades e submetido à ação da gravidade.



A equação da catenária é dada pela função hiperbólica e sua equivalente exponencial:
\begin{equation*}
y = a \cdot \cosh \left(\frac{x}{a} \right) = \frac{a}{2} \cdot \left( e^{x/a} + e^{-x/a} \right)
\end{equation*}
O problema de descrever matematicamente a forma da curva formada por um fio suspenso entre dois pontos e sob a ação exclusiva da gravidade foi proposto por Galileu Galilei, que propôs a conjectura de que a curva fosse uma parábola. Aos $17$ anos de idade, Huygens mostrou em $1646$ de que a conjectura era falsa. Em $1690$, Jakob Bernoulli relançou o problema à comunidade científica. A resolução do problema foi publicada independentemente em $1691$ por Leibniz, Huygens e o próprio Bernoulli.

Uma força aplicada em um ponto qualquer da curva a divide igualmente por todo material. Por isso é usada para a fabricação de materiais como o fundo das latas de refrigerante, iglus e túneis.

Referências:

[1] Caten, catenarias danzando autora: Dra. Marta Macho Stadler
[2] https://pt.wikipedia.org/wiki/Catenaria





01/04/2017

O número de Erdös-Bacon-Sabbath

Paul Erdös nasceu em $23$ de março de $1913$ em Budapeste, Hungria e faleceu a $20$ de setembro de $1996$ em Varsóvia, Polônia.


As contribuições de Erdös para a Matemática são numerosas e variadas. Mas não era um grande teórico, preferia resolver problemas. Acreditava que as sofisticadas teorias matemáticas não podem cobrir toda a matemática, e que há muitos problemas que não podem ser atacados por meio delas, mas que podem ser resolvidos por métodos elementares. Os problemas que mais o atraiam eram problemas de análise combinatória, teoria dos grafos e teoria dos números. Não resolvia problemas de qualquer maneira, queria resolvê-los de uma forma simples e elegante. Para Erdös, a prova tinha que explicar por que o resultado é verdadeiro, e não ser apenas uma sequência de passos sem ajudar a entender o resultado.

Erdös é mais conhecido pela sua capacidade de resolver problemas extraordinariamente difíceis. O seu estilo característico consistia em resolver problemas de uma forma elegante e visionária. Recebeu o Prêmio Cole da Sociedade Americana de Matemática em $1951$ pelos seus muitos artigos em teoria dos números, e em particular pelo artigo "On a new method in elementary number theory which leads to an elementary proof of the prime number theorem", publicado nos Proceedings of the National Academy of Sciences em $1949$.

Erdös, mais do que qualquer outro, foi creditado por "tornar a Matemática uma atividade social". Entre seus colaboradores mais frequentes estão Yousef Alavi, Béla Bollobás, Fan Chung, Ralph Faudree, Ronald Graham, András Gyárfás, András Hajnal, Eric Milner, János Pach, Carl Pomerance, Richard Rado (Um dos co-autores do famoso Teorema de Erdős-Ko-Rado), Alfréd Rényi, Vojtěch Rödl, Cecil Clyde Rousseau, András Sárközy, Richard Schelp, Miki Simonovitz, Vera Sós, Joel Spencer, Endre Szemerédi, Pál Turán e Peter Winkler.

Erdös era uma fonte constante de aforismos: "Another roof, another proof" ("Um outro teto, uma outra demonstração", tradução livre), "Um matemático é uma máquina para transformar café em teoremas", "Não precisa acreditar em Deus, mas precisa acreditar no Livro" (uma referência a um livro divino hipotético que supostamente contém as demonstrações mais sucintas, elegantes e esclarecedoras para todas as afirmativas matemáticas). Erdös usava o termo "partir" para pessoas que tinham morrido, e o termo "morrer" para pessoas que tinham parado de fazer Matemática. Ele chamava as crianças de "épsilons" e gostava delas.

Erdös recebeu muitos prêmios, incluindo o Prêmio Wolf de Matemática de $1983$. No entanto, devido ao seu estilo de vida, precisava de pouco dinheiro. Por isso ajudou estudantes talentosos e ofereceu prêmios pela resolução de problemas propostos por ele. Morreu em Varsóvia, Polônia a $20$ de setembro de $1996$ e foi sepultado no Cemitério judaico de Rákoskeresztúr.

O Número de Erdös

O Número de Erdös é uma homenagem prestada ao matemático húngaro Paul Erdös, que publicou em toda sua vida, cerca de $1475$ artigos sobre matemática, sendo cerca de $500$ destes em parcerias.



Esse número é recursivamente calculado da seguinte maneira:

▪ Erdös possui o número de Erdös igual a $0$.
▪ Um matemático $M$ possui esse número igual à soma de $1$ com o menor número de Erdös dos matemáticos que escreveram um artigo em parceria com $M$.

Existem $511$ matemáticos com número de Erdös igual a $1$, ou seja, que escreveram artigos em parceria com Erdös. Os matemáticos que escreveram artigos juntamente com estes, possuem esse número igual a $2$, os que escreveram artigos juntamente com estes últimos, possuem o número igual a $3$, e assim por diante.

Aquele(a) que nunca escreveu nenhum artigo com Erdös ou com algum matemático que possua um número de Erdös possui o número de Erdös infinito.

Arthur Avila, medalha Fields $2014$, possui o número de Erdös igual a $3$.

Na prática, o Número de Erdös informa para cada nó em um grafo qual a quantidade mínima de conexões (ou arestas) devem ser utilizadas para navegar de um nó a outro nó específico (chamado de Erdös ou Source).

Número de Erdös-Bacon

No cinema existe o chamado Número de Bacon, que é definido de maneira análoga, de modo a calcular a distância colaborativa no sentido de haver atuado em um filme com o ator Kevin Bacon, simplesmente porque Bacon já protagonizou um grande números de filmes em diferentes gêneros cinematográficos. Calcula-se que haja em torno de $800.000$ pessoas do mundo que tenham um número de Bacon.

O Número de Erdös-Bacon é definido como a soma dos anteriores. Por exemplo: o filosofo Noam Chomsky tem o número de Erdös-Bacon igual a $7$ e a matemática e atriz Danica McKellar tem um número de Erdös-Bacon igual a $6$ (a Winnie Cooper do seriado Anos Incríveis).

Número de Erdös-Bacon-Sabbath

Existe ainda o número de Sabbath, que é a distância colaborativa, de maneira similar aos anteriores, que separa alguém da banda Black Sabbath.

Alguém teve a feliz ideia de definir o Número de Erdös-Bacon-Sabbath, sendo a soma dos três números anteriores. Para ter um número desse tipo é necessário haver publicado um artigo científico, haver atuado em um filme e haver compartilhado um palco musical.

Como exemplo, podemos citar Albert Einstein:

▪ Possui número de Erdös igual a $2$.
▪ Atuou em World Leaders on Peace and Democracy $(1939)$, possuindo um número de Bacon igual a $4$.
▪ Dividiu o palco com o violinista Robert Mann em $1952$, tocando violino em um Quinteto de Mozart em Sol Menor, possuindo assim um número de Sabbath igual a $5$.

Deste modo, Einstein possui um número de Erdös-Bacon-Sabbath igual a $11$.

Outro exemplo é o guitarrista Brian May, possuindo o número de Erdös-Bacon-Sabbath igual a $9$.

Stephen Hawking possui o número de Erdös-Bacon-Sabbath igual a $8$.

Carl Sagan possui o número de Erdös-Bacon-Sabbath igual a $10$.

Richard Feynman possui o número de Erdös-Bacon-Sabbaht igual a $10$.

A Universidade de Oakland, EUA, possui um projeto chamado de Erdös Numer Project, onde podemos ver uma lista de alguns cientistas e matemáticos, laureados por Prêmios Nobels, Medalhas Fields, Prêmios Wolf, entre outros.

O site EBS Project é dedicado ao Número de Erdös-Bacon-Sabbath, contendo uma lista de pessoas e seus respectivos números.

Referências:

[1] https://pt.wikipedia.org/wiki/Numero_de_erdos
[2] https://pt.wikipedia.org/wiki/Paul_Erdos
[3] https://culturacientifica.com/.../el-numero-de-erdos-bacon-sabbath/
[4] http://erdosbaconsabbath.com/albert-einstein/
[5] http://www.nytimes.com/.../a-genius-finds-inspiration...



10/01/2017

O volume do dodecaedro regular

O dodecaedro é o único poliedro regular cujas faces são pentágonos regulares. É formado por $12$ faces, pentágonos regulares, e em cada vértice concorrem $3$ faces. O prefixo dodeca significa doze em grego. Este sólido representa o universo, porque para Platão o cosmos seria constituído por átomos com a forma de dodecaedros.


Primeiramente, vamos determinar a medida da diagonal do pentágono, que é a face do dodecaedro:



Usando semelhança de triângulos na imagem acima, obtemos:
\begin{equation*}
\frac{CD}{DF} = \frac{AD}{CF} \\
\ \\
\frac{a}{x} = \frac{a + x}{a}\\
\ \\
a^2 = a x + x^2\\
\ \\
x^2 + ax - a^2 = 0
\end{equation*}
Resolvendo esta equação com a fórmula de Bháskara:
\begin{equation*}
x = \frac{-a\pm \sqrt{a^2 + 4a^2}}{2} = \frac{-a\pm \sqrt{5 a^2}}{2} = \frac{-a\pm a\sqrt{5}}{2}\\
\ \\
x_1 = \frac{-a+ a\sqrt{5}}{2} \quad \text{ou} \quad x_2 = \frac{-a- a\sqrt{5}}{2}
\end{equation*}
A única resposta que nos interessa é a raiz $x_1$. Por outro lado, temos que $d=a+ x$, logo:
\begin{equation*}
d = a+ \left(\frac{- a+ a\sqrt{5}}{2}\right)\\
\ \\
d = \frac{2a- a+ a\sqrt{5}}{2}\\
\ \\
d = \frac{a+ a\sqrt{5}}{2}\\
\ \\
d = a\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)\\
\ \\
d = a\ \varphi
\end{equation*}
onde $\varphi$ é o número de ouro.

A decomposição do dodecaedro pode ser feita em um cubo, cujas arestas são as diagonais dos pentágonos das faces, e por outros $6$ sólidos, conforme a imagem abaixo:



Cada um desses $6$ sólidos são representados como:




Podemos decompor este sólido como mostrado abaixo:



Assim, obtemos um prisma de base triangular e uma pirâmide formada pela justaposição dos sólidos opostos:



Pelas imagens acima, obtemos as relações:
\begin{equation*}
d = a + 2x \Rightarrow 2x = d-a \Rightarrow x = \left(\frac{d-a}{2}\right)
\end{equation*}
Aplicando o teorema de Pitágoras no sólido, obtemos:
\begin{equation}
a^2 = x^2 + \ell ^2\\
\ \\
a^2 =\left(\frac{d-a}{2}\right)^2 + \ell^2
\end{equation}
e
\begin{equation}
\ell^2 = h^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2\\
\ \\
\ell^2 = h^2+ \frac{d^2}{4}
\end{equation}
Substituindo $(2)$ em $(1)$:
\begin{equation*}
a^2 - \left(\frac{d-a}{2}\right)^2 = h^2 + \frac{d^2}{4}\\
\ \\
h^2 = a^2  - \left(\frac{d-a}{2}\right)^2 - \frac{d^2}{4}\\
\ \\
h^2= a^2 - \left( \frac{d^2-2ad + a^2}{4} \right) - \frac{d^2}{4}\\
\ \\
h^2 = \frac{4a^2 - d^2 + 2ad -a ^2 - d^2}{4}\\
\ \\
h^2 = \frac{3a^2 - 2d^2 + 2ad}{4}\\
\end{equation*}
\begin{equation}
h^2 = \frac{3a^2}{4} - \frac{d(d-a)}{2}
\end{equation}
Como $d=a\ \varphi$, fazemos:
\begin{equation*}
\frac{d(d-a)}{2} = \frac{a\ \varphi (a\ \varphi - 1)}{2} = \frac{a^2\ \varphi (\varphi - 1)}{2}
\end{equation*}
Como $\displaystyle \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, obtemos:
\begin{equation}
\frac{a^2}{2} \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} - a\right) = \frac{a^2}{2}
\end{equation}
Substituindo $(4)$ em $(3)$:
\begin{equation*}
h^2 = \frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{2}\\
\ \\
h^2 = \frac{3a^2 - 2a^2}{4}\\
\ \\
h^2 = \frac{a^2}{4}
\end{equation*}
\begin{equation}
h = \frac{a}{2}
\end{equation}
Agora, podemos calcular os volumes dos sólidos. Vamos calcular o volume do prisma:
\begin{equation*}
V_{Prisma} = \frac{d \cdot h \cdot a}{2} = \frac{\displaystyle a\varphi \cdot \frac{a}{2} \cdot a}{2} = \frac{a^3\ \varphi}{4}
\end{equation*}

Agora, calculamos o volume da pirâmide:
\begin{equation*}
V_{Pirâmide} = \frac{2x \cdot d \cdot h}{3} = \frac{(d-a)\cdot d \cdot a}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{a^3}{6}
\end{equation*}

E por fim, calculamos o volume do cubo:
\begin{equation*}
V_{Cubo} = c^3 = a^3 \varphi^3
\end{equation*}

O volume do dodecaedro $(V_D)$ é dado pela soma do volume do cubo e seis vezes a soma do volume do prisma e da pirâmide:
\begin{equation*}
V_D = a^3 \varphi^3 + 6\left[ \frac{a^3\varphi}{4} + \frac{a^3}{6} \right]\\
\ \\
V_D = a^3\varphi ^3 + 6\left[ \frac{3a^3 \varphi + 2a^3}{12} \right]\\
\ \\
V_D = a^3 \varphi^3 + \frac{3a^3 \varphi + 2a^3}{2}\\
\ \\
V_D = \frac{2a^3\varphi^3 + 3a^3\varphi + 2a^3}{2}\\
\ \\
V_D = \frac{a^3}{2} \left(2\varphi^3 + 3\varphi + 2 \right)\\
\ \\
V_D = \frac{a^3}{2} \left[2 \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^3 + 3 \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)+2\right]\\
\ \\
V_D = \frac{a^3}{2} \left[ 2\left(\frac{16+8\sqrt{5}}{8}\right) + \frac{3+3\sqrt{5}}{2} + 2 \right]\\
\ \\
V_D = \frac{a^3}{2} \left[ 4+2\sqrt{5} + \frac{3+3\sqrt{5}}{2} + 2\right]\\
\ \\
V_D = \frac{a^3}{2} \left[ \frac{8+4\sqrt{5} + 3 + 3\sqrt{5} + 4}{2} \right]\\
\ \\
V_D = \frac{a^3}{4} \left( 15 + 7\sqrt{5} \right)
\end{equation*}

Exemplo:

Vamos calcular o volume do dodecaedro cuja aresta mede $1\ u.c.$. Aplicando na fórmula, fazemos $a=1$, obtendo:
\begin{equation*}
V_D = \frac{15 + 7\sqrt{5}}{4} \approx 7,663\ u.v.
\end{equation*}

Referências:

[1] O Volume do dodecaedro regular no blog Fatos Matemáticos, originalmente escrito pelo prof. Paulo Sérgio C. Lino, revisado e reestruturado por Kleber Kilhian

Veja mais:

A origem do termo Número de Ouro
Demonstração do volume de uma pirâmide
Demonstração do volume da esfera



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