Um marco na História da Matemática foi a descoberta da existência dos números irracionais. Um número irracional é todo número que não pode ser escrito em forma de fração do tipo $\displaystyle \frac{p}{q}$, sendo $p \text{ e }q \ \in \ \mathbb{Z}$, $p$ e $q$ primos entre si e $q \neq 0$. Para esta prova, vamos considerar o quadrado de lado 1 da imagem acima.
Pelo Teorema de Pitágoras, sua diagonal será $\sqrt{2}$:
$$ d^2 = 1^2 + 1^2 \\ d^2 = 2 \\ d = \sqrt{2} $$Demonstração pelo absurdo
Vamos supor que $\sqrt{2}$ possa ser expressa como um quociente entre dois inteiros:
$$ \sqrt{2} = \frac{p}{q} \\ q\sqrt{2} = p $$Elevamos ambos os membros ao quadrado:
$$ \left( q\sqrt{2} \right)^2 = p^2 \\ 2q^2 = p^2 $$Podemos concluir que $p$ é par, pois $p^2=2q^2$ e qualquer número multiplicado por $2$ será par. Logo, se $2q^2$ é par, então $p^2$ será par. Assim, se $p$ é par, podemos escrevê-lo como $p=2k$:
$$ 2q^2 = (2k)^2 \\ 2q^2 = 4k^2 \\ q^2 = 2k^2 $$Concluímos que $q$ é par, pois $q^2=2k^2$ e qualquer número multiplicado por 2 será par. Logo, se $2k^2$ é par, então $q^2$ será par.
Chegamos a uma contradição onde $p$ e $q$ são pares, não satisfazendo a condição de existência inicial $\displaystyle \frac{p}{q}$, sendo $p \text{ e }q \ \in \ \mathbb{Z}$, $p$ e $q$ primos entre si e $q \neq 0$.
Concluímos então que $\sqrt{2}$ é irracional.
(q*(2^1/2))^2 não seria igual a (q^2)*2?
ResponderExcluirOlá Viictor. Sua afirmação está correta. Mas veja só: na verdade, na terceira linha da demonstração onde aparece (q*(2^1/2))^2 = p^2, lembre-se que estamos fazendo uma demonstração e queremos provar que este valor é igual a p^2. Seguindo o raciocínio da demosntração, vemos que cai numa contradição, o que nos mostra a irracionalidade de sqrt(2). Espero ter esclarecido sua dúvida.
ResponderExcluirUm abraço.
Estranho... Para mim essa demonstração não provou a irracionalidade do número, e sim que a "condição de existencia inicial" seja falha.
ResponderExcluirEntretanto, se essa condicão inicial for falha, isso significaria que um número como sqrt(2) poderia ser escrito como 2k/2q (números pares)
E dessa forma sqrt(2) seria igual k/q (constantes quaisquer).
Qual seria a falha nesse raciocinio?
Olá Victor, td blz?
ResponderExcluirBem, vamos por partes:
1) A condição de existência da irracionalidade de um número é verdadeira para todo irracional x se este não puder ser ecrito sob forma de fração do tipo p/q, onde p e q pertence aos inteiros, p e q primos entre si e q diferente de zero (consultando qualquer livro que trate do assunto verá que todos apontam a mesma condição);
2)O que é falha é a imposição no início da demonstraçõa pelo absurdo (e ainda bem!), pois sqrt(2) não pode ser escrita como p/q;
3)A demonstração pelo absurdo nos levou a um ponto em que p e q são pares, contradizendo a condição de existência (1);
4) Quando você diz: "...se esssa condição inicial for falha, isso significa que sqrt(2) pode ser escrito como 2k/2q...". Sua afirmação está errada, já que (3) nos leva a uma contradição;
5) A falha que você questiona é que sqrt(2) NÃO pode ser escrito como 2k/2q, esclarecido em (3).
Bem, espero ter esclarecido, ou talvez nãotenha conseguido me expressar aqui.
Um abraço e obrigado por seu questionamento.
Até +
seu erro está em:
ResponderExcluir"p² = 2*q²
então p é par"
você nao pode afirmar isso, só pode afirmar que p² é par, nao que p o é.
Veja que estamos fazendo uma demonstração pelo absurdo.Quando chegamos à igualdade p² = 2q²,só podemos concluir que, se 2q² é par (pois qualquer número multiplicado por 2 é par), logo p² também é par (visto que qualquer número ímpar elevado ao quadrado é um número ímpar e então p é par) Lembre-se: é uma demonstração pelo absurdo e queremos cair numa contradição.
ResponderExcluirEssa confusão, talvez, tenha sido causada pela falta de destaque da condição inicial (de que p e q devem ser primos entre si).
ResponderExcluirPode ser Daniel, apesar de estar como condição para p e q (no segundo parágrafo). Mas essas discussão é boa!
ResponderExcluirMas veja: um número irracional não pode ser representado sobforma de uma fração. Após o desenvolvimento acima, caímos numa contradição onde p e q são pares, isso nos mostra que a condição dada para tentar provar pelo absurdo de que sqrt(2)= p/q é falsa, logo sqrt(2) é irracional.
Nossa esse texto veio pra mim em uma ótima hora. Muito bem escrito, esclarecido. Parabéns, sério.
ResponderExcluirEu estou tendo aulas de G.A. e o meu prof não está facilitando nada minha vida, e estava procurando uma definição melhor para eu entender sobre os NÚMEROS IRRACIONAIS, com essa explicação simples porém clara e mais um material da internet, consegui compreender.
Obrigado, professor. Um abraço