Demonstração de que todo triângulo inscrito em uma semicircunferência é retângulo

Todo triângulo que esteja inscrito em uma semicircunferência é um triângulo retângulo. Em outras palavras, um triângulo inscrito em uma circunferência é retângulo se, e somente se, um de seus lados passar pelo centro da circunferência.

Seja uma semicircunferência de centro $O$ e diâmetro $BC$. Escolhemos o ponto $A$ em qualquer posição do arco. Vamos demonstrar que o ângulo $\angle BAC$ é reto.

Iniciamos traçando os pontos $OA$. Considerando o triângulo $\triangle AOB$, temos que os segmentos $OA$ e $OB$ são o raio da semicircunferência. Deste modo, o triângulo $\triangle AOB$ é isósceles e os ângulos $\angle AOB$ e $\angle BAO$ são congruentes, ou seja, possuem a mesma medida. Vamos chamar esses ângulos de $\alpha$.

Analogamente, observamos que $OA$ e $OC$ são o raio da semicircunferência e o triângulo $\triangle AOC$ é isósceles. Assim, os ângulos $\angle OAC$ e $\angle OCA$ são congruentes. Vamos chamar esses ângulos de $\beta$.

Sabemos que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a $180^\circ$, ou seja, dois ângulos retos. Observando o triângulo $\triangle ABC$, temos que:

$$180^\circ = \angle ABC + \angle ACB + \angle BAC\\ \ \\ 180^\circ = \alpha + \beta + (\alpha + \beta)\\ \ \\ 180^\circ = 2 \alpha + 2 \beta\\ \ \\ 180^\circ = 2(\alpha + \beta)$$

Dividindo ambos os membros da igualdade por $2$, obtemos:

$$90^\circ = \alpha + \beta$$

E provamos desta forma que $\angle BAC = \alpha + \beta = 90^\circ$.

Sugestão de livro sobre Geometria Plana:

Este livro faz parte da coleção Fundamentos de Matemática Elementar e este volume aborda toda a Geometria Plana usualmente tratada nas últimas séries do ensino fundamental. Os capítulos I à XI apresentam um estudo posicional das figuras geométricas planas. Os capítulos XII à XIX oferecem um tratamento mais métrico a essas figuras com destaque para os cálculos de perímetros e áreas.

• Título: Fundamentos de Matemática Elementar, V9 - Geometria Plana
• Autores: Osvaldo Dolce e José Nicolau Pompeo
• Editora: Saraiva Didáticos
• Idioma: Português
• Capa comum: 464 páginas
• Dimensões: 24,13 x 16,76 x 1,52 cm

Capa comum

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