05/08/2023

Demonstração de que as diagonais de um trapézio isósceles são iguais

demonstracao-de-que-as-diagonais-de-um-trapezio-isosceles-sao-congruentes-geometria-teorema
A Geometria Plana possui muitos teorema interessantes que podem ser demonstrados por métodos analíticos seguindo algumas etapas:
  1. Construir uma figura que represente o problema;
  2. Escolher um sistema cartesiano em posição conveniente;
  3. Fixar as coordenadas de pontos específicos da figura impondo hipóteses;
  4. Fazer a demonstração.

O trapézio é um quadrilátero que possui um par de lados opostos paralelos.

Um trapézio é isósceles se os dois lados oblíquos (não paralelos) forem congruentes, ou seja, possuírem o mesmo comprimento.

Podemos demonstrar que as diagonais de um trapézio isósceles são iguais utilizando a fórmula de distância entre dois pontos.

Uma das propriedades dos trapézio isósceles é que se traçarmos perpendiculares a partir dos vértices da base menor, obtemos dois triângulos congruentes.
um-trapezio-isosceles-e-formado-por-um-quadrado-e-dois-triangulos-congruentes
Se o colocarmos no plano cartesiano sendo um de seus vértices a origem do sistema,  podemos definir as coordenadas de um trapézio isósceles genérico:
as-diagonais-de-um-trapezio-isosceles-sao-congruentes
Seja $ABCD$ um trapézio isósceles cujas coordenadas são:
$$
A(0,0),\ B(a,0),\ C(b,c)\ \text{e}\ D(a-b,c)
$$
Utilizando a fórmula de distância entre dois pontos, vamos encontrar as medidas das duas diagonais.
$$
d_{AC} = \sqrt{(b-0)^2 + (c-0)^2}\\
\ \\
d_{AC} = \sqrt{b^2+c^2}
$$
e
$$
d_{BD} = \sqrt{(a-b-a)^2 + (c-0)^2}\\
\ \\
d_{BD} = \sqrt{b^2+c^2}
$$
Então:
$$
AC = BD
$$

Referências:

  • Fundamentos de Matemática Elementar - Geometria Analítica- Gelson Iezzi

Veja mais:


COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Demonstração de que as diagonais de um trapézio isósceles são iguais. Publicado por Kleber Kilhian em 05/08/2023. URL: . Leia os Termos de uso.


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