Processing math: 100%

08/10/2022

A mediana relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à metade da hipotenusa

a-mediana-relativa-a-hipotenusa-de-um-triangulo-retangulo-e-igual-a-metade-da-hipotenusa
A Geometria Plana possui muitos teorema interessantes que podem ser demonstrados por métodos analíticos seguindo algumas etapas:

  1. Construir uma figura que represente o problema;
  2. Escolher um sistema cartesiano em posição conveniente;
  3. Fixar as coordenadas de pontos específicos da figura impondo hipóteses;
  4. Fazer a demonstração.

Teorema:

Em qualquer triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa é igual à metade da hipotenusa.
a mediana relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à metade da hipotenusa
Antes de seguirmos, vamos relembrar alguns outros teorema necessários para esta demonstração.


Mediana:

A mediana é o segmento de reta que une um vértice de um triângulo ao ponto médio do lodo oposto a este vértice.

Na figura abaixo, vemos representadas as três medianas de um triângulo qualquer de vértices ABC:
as-tres-medianas-de-um-triangulo-concorrem-em-um-ponto-chamado-baricentro
A intersecção das três medianas é o baricentro do triângulo, representado pela letra G e é considerado um dos pontos notáveis de um triângulo.


Ponto médio:

O ponto médio de um segmento de reta é aquele que o divide em outros dois segmentos congruentes entre si, isto é, de mesmo comprimento. As coordenadas do ponto médio são dadas por:
xM=xA+xB2eyM=yA+yB2
onde A e B são as extremidades do segmento.
o-ponto-medio-de-um-segmento-de-reta

Distância:

Distância é a medida do segmento de reta que une dois pontos. Se os pontos A e B podem ser representados em um plano cartesiano, então a distância entre eles é dada pela fórmula:
dAB=(xBxA)2+(yByA)2
calculo-da-distancia-entre-dois-pontos-no-plano
Se desejar, você pode ler o artigo com a demonstração: Como calcular a distância entre dois pontos no plano

Demonstração:

Seja o triângulo retângulo de vértices ABC, retângulo em A. Podemos posicioná-lo convenientemente em um sistema cartesiano onde o vértice A coincida com a origem:
sistema-cartesiano-a-mediana-relativa-a-hipotenusa-de-um-triangulo-retangulo-e-igual-a-metade-da-hipotenusa
Sendo assim, as coordenadas dos vértices desse triângulo são dadas por:
{A(0,0) B(x,0) C(0,y)
Queremos demonstrar que o segmento AM (mediana relativa à hipotenusa) é igual à metade do segmento BC (hipotenusa), ou seja:
AM=BC2
Utilizando as fórmulas para o ponto médio de um segmento, obtemos:
{xM=xB+xC2=x+02=x2 yM=yB+yC2=0+y2=y2

Queremos encontrar o comprimento da mediana AM em função das coordenadas x e y. Para isso, utilizaremos a fórmula para a distância entre dois pontos:
dAM=(xMxA)2+(yMyA)2 dAM=(x20)2+(y20)2 dAM=x24+y24 dAM=x2+y24
Encontrando:
dAM=x2+y22
Agora, fazemos o mesmo para o comprimento da hipotenusa BC:
dBC=(xCxB)2+(yCyB)2 dBC=(0x)2+(y0)2
Encontrando:
dBC=x2+y2
Substituindo (2) em (1), obtemos:
dAM=x2+y22 dAM=dBC2
Ou seja:
AM=BC2

Referências:

  • Fundamentos de Matemática Elementar V7, Geometria Analítica, Gelson Iezzi

Links para este artigo:


Veja mais:

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: A mediana relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à metade da hipotenusa. Publicado por Kleber Kilhian em 08/10/2022. URL: . Leia os Termos de uso.


Siga também o blog pelo canal no Telegram.
Achou algum link quebrado? Por favor, entre em contato para reportar o erro.
Para escrever em LATEX nos comentários, saiba mais em latex.obaricentrodamente.com.

Postar um comentário

Whatsapp Button works on Mobile Device only

Pesquise no blog