A Geometria Plana possui muitos teorema interessantes que podem ser demonstrados por métodos analíticos seguindo algumas etapas:
- Construir uma figura que represente o problema;
- Escolher um sistema cartesiano em posição conveniente;
- Fixar as coordenadas de pontos específicos da figura impondo hipóteses;
- Fazer a demonstração.
Teorema:
Em qualquer triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa é igual à metade da hipotenusa.
Antes de seguirmos, vamos relembrar alguns outros teorema necessários para esta demonstração.
Mediana:
A mediana é o segmento de reta que une um vértice de um triângulo ao ponto médio do lodo oposto a este vértice.
Na figura abaixo, vemos representadas as três medianas de um triângulo qualquer de vértices ABC:
A intersecção das três medianas é o baricentro do triângulo, representado pela letra G e é considerado um dos pontos notáveis de um triângulo.
Ponto médio:
O ponto médio de um segmento de reta é aquele que o divide em outros dois segmentos congruentes entre si, isto é, de mesmo comprimento. As coordenadas do ponto médio são dadas por:
xM=xA+xB2eyM=yA+yB2onde A e B são as extremidades do segmento.
Se desejar, você pode ler o artigo com a demonstração: Como encontrar as coordenadas do ponto médio de um segmento de reta através da geometria analítica
Distância:
Distância é a medida do segmento de reta que une dois pontos. Se os pontos A e B podem ser representados em um plano cartesiano, então a distância entre eles é dada pela fórmula:
dAB=√(xB−xA)2+(yB−yA)2
Se desejar, você pode ler o artigo com a demonstração: Como calcular a distância entre dois pontos no plano
Demonstração:
Seja o triângulo retângulo de vértices ABC, retângulo em A. Podemos posicioná-lo convenientemente em um sistema cartesiano onde o vértice A coincida com a origem:
Sendo assim, as coordenadas dos vértices desse triângulo são dadas por:
{A(0,0) B(x,0) C(0,y)Queremos demonstrar que o segmento AM (mediana relativa à hipotenusa) é igual à metade do segmento BC (hipotenusa), ou seja:
AM=BC2Utilizando as fórmulas para o ponto médio de um segmento, obtemos:
{xM=xB+xC2=x+02=x2 yM=yB+yC2=0+y2=y2
dBC=√(xC−xB)2+(yC−yB)2 dBC=√(0−x)2+(y−0)2Queremos encontrar o comprimento da mediana AM em função das coordenadas x e y. Para isso, utilizaremos a fórmula para a distância entre dois pontos:
dAM=√(xM−xA)2+(yM−yA)2 dAM=√(x2−0)2+(y2−0)2 dAM=√x24+y24 dAM=√x2+y24Encontrando:
dAM=√x2+y22Agora, fazemos o mesmo para o comprimento da hipotenusa BC:
Encontrando:
dBC=√x2+y2
Substituindo (2) em (1), obtemos:
dAM=√x2+y22 dAM=dBC2Ou seja:
AM=BC2Referências:
- Fundamentos de Matemática Elementar V7, Geometria Analítica, Gelson Iezzi
Postar um comentário