29 de nov de 2008

Períodos Matemáticos

Períodos Matemáticos com as contribuições e os principais contribuidores. Muitas datas são aproximadas.


Egípcio e Babilônico – (3000 a.C. - 260 d.C.)

- Matemática essencialmente empírica ou indutiva;
- Introdução dos sistemas de numeração antigos: Decimal e Sexagesimal;
- Aritmética simples, geometria prática;
- Tábuas matemáticas, coleções de problemas matemáticos;
- Fontes primárias principais: Moscou (1850 a.C.), Rhindi (1650 a.C.) e outros papiros egípcios, tábuas cuneiformes babilônicas (2100 a.C. a 1600 a.C. e 600 a.C. a 300 d.C.).

Grego – (600 a.C. - 450 d.C.)

- Introdução e depois desenvolvimento significativos da geometria dedutiva (Tales, 600 a.C., Pitágoras, 540 a.C.);
- Início da Teoria do números (Escola Pitagórica, 540 a.C.);
- Descoberta das grandezas incomensuráveis (Escola Pitagórica, antes de 340 a.C.);
- Sistematização da lógica dedutiva (Aristóteles, 340 a.C.);
- Desenvolvimento axiomático da geometria (Euclides, 300 a.C.);
- Germes do cálculo integral (Arquimedes, 225 a.C.);
- Geometria das seções cônicas (Apolônio, 225 a.C.);
- Geometria prática (Herão, 75 d.C.);
- Trigonometria (Hiparco, 140 a.C., Menelau, 100 d.C., Ptolomeu, 150 d.C.);
- Teoria dos Números, sincopação da álgebra (Diofanto, 250 d.C.).

Chinês – (1030 a.C. - 1644 d.C.)

- Grandemente isolada das correntes principais do desenvolvimento matemático;
- Sistemas de numeração decimal, numerais em barra, exemplo mais antigo de quadrado mágico;
- Choe-peï, mais antigo dos clássicos matemáticos chineses;
- Nove capítulos sobre a Arte da Matemática (100 a.C. - ?);
- Método de Horner (Ch'in kiu-Shoo, 1247);
- Triângulo aritmético de Pascal, teorema binomial (Chu Shï-kié, 1303);
- Jesuítas missionários entram na China no século XVI.

Hindu – (200 a.C. - 1250 d.C.)

- Introdução ao sistema de numeração indo-arábico (antes de 250 a.C.);
- Números negativos e invenção do zero (últimos séculos a.C.);
- Desenvolvimento de algoritmos de cálculos antigos (900-1000 d.C.).
- Álgebra sincopada, equações indeterminadas (Brahmagupta, 628 d.C.; Bhäskara, 1150 d.C.).

Árabe – (650 - 1200 d.C.)

- Preservadores da aritmética hindu e da geometria grega (incentivadas por califas que prestigiavam a cultura, como Harun al-Rashid, 790 d.C.);
- Tratado de álgebra influente e livro sobre os numerais hindus (Al-Khovarizmi, 820 d.C.);
- Tábuas trigonométricas (Abû'l Wefâ, 980 d.C., Ulugh Beg, 1435 d.C.);
- Solução geométrica de equações cúbicas (1100 d.C.).

Baixa Idade Média – (450 - 1120 d.C.)

- Período estéril para o saber e a cultura na Europa Ocidental;
- Preservação em monastérios de um fio delgado do saber e da cultura gregos e latinos.

Período de Transmissão – (950 - 1500 d.C.)

- O saber e a cultura preservados pelos árabes são transmitidos lentamente à Europa Ocidental;
- Tradução de trabalhos árabes (Platão de Tivoli, 1120 d.C.; Robert de Chester, 1140 d.C.; Adelardo de Bath, 1142 d.C.; Geraldo de Cremona, 1150 d.C.; Campanus, 1260 d.C.);
- Luta pelo sistema de numeração indo-arábico (Fibonacci, 1260 d.C.);
- Século XIV, século da Peste Negra;
- Primeiro livro de Matemática impresso no Mundo Ocidental (Aritmética de Treviso, 1479);
- Primeira edição dos Elementos de Euclides (Tradução de Campanus, 1482 d.C.).

Moderno – (Primeira metade, 1450 - 1700 d.C.)

- Trigonometria antiga (Regiomontanus, 1464; Copérnico, 1530; Rhaeticus, 1550);
- Primeiras aritméticas (Borghi, 1484; Widman, 1489; Pacioli, 1494; Köbel, 1512; Riese, 1518; Tonstall, 1522; Buteo, 1525);
- Início do simbolismo algébrico (Recorde, 1557; Bombelli, 1572; Viéte, 1579; Oughtred, 1631);
- Soluções algébricas para equações cúbicas e quárticas (Tartaglia, Cardano, Ferrari, 1545);
- Desenvolvimento da álgebra clássica (Viéte, 1580; Harriot, 1631);
- Frações decimais (Stevin, 1585);
- Impulso na ciência (Kepler, 1609);
- Logaritmos (Napier, 1614; Briggs, 1615);
- Teoria dos Números moderna (Fermat, 1635);
- Geometria analítica (Fermat, 1629; Descartes, 1637);
- Início da geometria projetiva (Desargues, 1639; Pascal, 1648);
- Probabilidade matemática (Fermat e Pascal, 1654);
- Cálculo (Fermat, 1629; Cavalieri, 1635; Barrow, 1669; Leibniz, 1684; NEWTON, 1687).

Moderno – (Segunda metade, 1700 d.C. até o presente)

- Cálculo aplicado (Jacob e Johann Bernoulli, 1700; Clairaut, 1743; d'Alembert, 1743; Euler, 1750; Lagrange, 1788; Laplace, 1805; Fourier, 1822; Legendre, 1825; Green, 1828; Poisson, 1831);
- Séries infinitas (Taylor, 1715; Maclaurin, 1742; Fourier, 1822);
- Geometria não-euclidiana (Saccheri, 1733; Lambert, 1770; Legendre, 1794; Gauss, 1800; Lobachevsky, 1829; J. Bolyai, 1832);
- Topologia (Euler, 1736; Gauss, 1799; Listing, 1847; Riemann, 1815; Möbius, 1865; Poincaré, 1895);
- Geometria analítica avançada (Monge, 1795; Plücker, 1826; Möbius,1827);
- Análise (Lagrange, 1797; Abel, 1826; Cauchy, 1827; Riemann, 1851; Dedekind, 1872; Weierstrass, 1874; Lebesgue, 1903);
- Geometria projetista (Poncelet, 1822; Gergonne, 1826; Steiner, 1834; von Staudt, 1847; Clifford, 1878);
- Máquinas de calcular modernas (Babbage, 1823; ASCC, 1944; ENIAC, 1945; SSEG; EDVAC; MANIAC; UNICAV);
- O despontar da álgebra moderna (Galois, 1832; Hamilton, 1843; Grassmann, 1844; Cayley, 1857);
- Lógica matemática (Boole, 1847; De Morgan, 1847; Schröder, 1890; Peano, 1894; Whitehead e Russell, 1910; Lukasievicz, 1921);
- Teoria dos conjuntos (Cantor, 1874; Hausdorf, 1914);
- Fundamentos e filosofias da Matemática (Frege, 1884 - 1903; Hilbert, 1899; Brouwer, 1907; Whitehead e Russell, 1910; Gödel, 1931);
- Espaços abstratos (Fréchet, 1906; Hausdorff, 1914; Banach, 1923).

Referências

[1] Introdução à História da Matemática – Haward Eves – ed. Unicamp

Veja mais: 

Uma Breve Cronologia de PI
Panorama da História do Cálculo
História do Símbolo do Infinito

Aproximação de Raiz Quadrada de um Número n

Introdução

Os Babilônios deram algumas aproximações interessantes de raízes quadradas de números não-quadrados perfeitos, tais como 17/12 para aproximar clip_image002, 17/24 para clip_image004 . Talvez eles usassem a fórmula de aproximação:

clip_image006

Uma aproximação notável de clip_image002é:


clip_image008

Valor encontrado na tábua 7289 de Yale, datada de 1600 a.C.

Os Babilônios eram infatigáveis construtores de tábuas, calculistas extremamente hábeis e certamente mais fortes em Álgebra do que em Geometria.

Aproximação da Raiz Quadrada

Através da fórmula de aproximação:

clip_image006[1]

podemos obter a aproximação racional babilônica de clip_image002: Tomando a = 4/3 e b = 2/9, fazemos:

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Partindo desse conceito, podemos, agora, fazer uma aproximação de uma √n . Por exemplo, fazendo n = 3, devemos primeiramente decompor 3 em uma soma de frações conveniente:

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Considerando a fórmula de aproximação:

clip_image006[2]

Temos que:

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Fazemos:

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Vemos que o erro E é dado por:

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e é de aproximadamente 0,0179. Para cálculos corriqueiros a aproximação é ótima!


Veja mais:

Método Babilônico para Aproximação da Raiz Quadrada
Método de Herão para Aproximação da Raiz Quadrada
Método de Newton para Aproximação da Raiz Quadrada
Mais um Método para Aproximação da Raiz Quadrada

Método Babilônico para Aproximação de Raiz Quadrada de um Número n

Os Babilônios utilizavam um algoritmo para aproximar uma raiz quadrada de um número qualquer, da seguinte maneira:

Dado um número n, para encontrar a raiz quadrada aproximada, assumimos uma aproximação inicial a0 e calculamos b0. Em seguida, utilizamos o algoritmo:

clip_image002

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Onde, para cada iteração (ak , bk), para todo k = 1, 2, 3, ..., encontramos uma raiz n mais aproximada.

O erro da aproximação é dado por E = |(bk)2 - n|. Se o valor absoluto da diferença entre (bk)2 e n for menor do que a precisão ε, então tome como raiz aproximada.

Exemplo: Aproximar √3 pelo algoritmo babilônico com precisão de ε = 1 . 10– 4. Como a raiz quadrada de 3 está entre 1 e 2, vamos tomar como aproximação inicial a0 = 1,5.

Calculamos:

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Testamos o erro da aproximação inicial b0. Como E = |22 - 3| > 10– 4, continuamos as iterações:

k = 1

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Como E = |1,7142857142 - 3| > 10– 4, continuamos as iterações:

k = 2

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Como E = |1,7319587622 - 3| > 10– 4, continuamos as iterações:

k = 3

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clip_image042[1]

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Como E = |1,73205080512 - 3| < 10– 4, paramos as iterações e tomamos b3 como uma raiz aproximada √3, com precisão até a décima casa decimal! Vale lembrar que, se continuarmos as iterações k, termos uma aproximação cada vez melhor da raiz.


Veja mais:

Aproximação da Raiz Quadrada de um Número n
Método de Newton para Aproximação de Raiz Quadrada de um Número n
Método de Herão para Aproximação de Raiz Quadrada de um Número n

Método de Herão para Aproximação de Raiz Quadrada de um Número n

Herão de Alexandria foi um matemático de destaque com muita controvérsia sobre a época em que viveu, havendo estimativas que variam de 150 a.C. a 250 d.C.. seus trabalhos de Matemática e Física são numerosos e variados, sendo considerado um enciclopedista. Em seu Livro A Métrica, encontra-se o método de Herão de aproximar a raiz quadrada de um número inteiro não-quadrado perfeito. Tal método é hoje utilizado com freqüência por computadores e permite sucessivas aproximações.

Dada a raiz quadrada de um número n, assumindo a0 como uma aproximação inicial, temos:

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Uma melhor aproximação será dada pela próxima iteração:

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Assim prossegue e a cada iteração melhora a aproximação da raiz.

A saber: Se n = a b, então (a + b)/2 é uma aproximação de √n, que melhora com a proximidade de a e b.

Após a escolha da aproximação inicial a0, podemos construir o algoritmo:

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Onde, para cada iteração k, para todo k = 1, 2, 3, ..., encontramos uma raiz ak mais aproximada de n.

Surge então a questão: Até quando essas iterações seguem-se? Para evitar que o programa entre numa rotina de cálculos infinitos, inicialmente devemos impor limites, não para as iterações, mas para o erro da aproximação. Ou seja, se quisermos obter uma aproximação de uma raiz com pelo menos 5 casas decimais corretas, com o erro E < 10– 5 , por exemplo, devemos impor uma precisão ε = 1 . 10– 5 e devemos, a cada iteração, fazer o teste da raiz aproximada para checar se satisfaz a precisão ε imposta inicialmente. O erro é dado por E = |(ak)2 - n|. Se o valor absoluto do quadrado da raiz aproximada ak, subtraída de n for menor que a precisão ε, então tome ak como raiz aproximada.


Exemplo: Aproximar √3 pelo método de Herão com precisão de ε = 1 . 10– 4.

Como a raiz quadrada de 3 está entre 1 e 2, tomamos como aproximação inicial a0 = 1,5.

Testamos o erro da aproximação inicial a0. Como |1,52 - 3| > 10– 4, continuamos as iterações:

Fazemos:

k = 1

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Como |1,752 - 3| > 10– 4, continuamos as iterações:

k = 2

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Como |1,7321428572 - 3| > 10-4, continuamos as iterações:

k = 3

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Como |1,7320581001472 - 3| < 10-4, tomamos a3 como raiz aproximada de √3, com precisão até a sétima casa decimal.



Veja mais:

Método Babilônico para Aproximação de Raiz Quadrada de um Número n
Método de Newton para Aproximação de Raiz Quadrada de um Número n
Mais um Método para Aproximar Raiz Quadrada de um Número n
Zeros Reais de Funções Reais - O Método de Newton-Raphson 

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