Há diversas construções geométricas onde podemos encontrar a constante $\varphi$ (phi), ou seja, o número de ouro.
Este é o primeiro artigo de uma série sobre construções geométricas de $\varphi$ em circunferências. Leiam outros artigos da série:
- Construção geométrica de phi - Parte 1
- Construção geométrica de phi - Parte 2
- Construção geométrica de phi - Parte 3
- Construção geométrica de phi - parte 4
- Construção geométrica de phi - Parte 5
- Construção geométrica de phi - Parte 6
- Construção geométrica de phi - Parte 7
- Construção geométrica de phi - Parte 8
Veremos a seguir como encontrar o número de ouro a partir de três circunferências tangentes cujos centros estão alinhados.
Sejam três circunferências de diâmetros iguais a 1, cujos centros são colineares e tangentes entre si duas a duas. Demonstraremos que:
$$\varphi = BE = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1,618 \cdots
$$
Observando a figura acima, temos que no triângulo $ABC$ os segmentos $AB=1$ e $AC=2$. Logo, o segmento $BC$ é a hipotenusa do triângulo e podemos aplicar o teorema de Pitágoras:
$$BC^2 = AB^2 + AC^2\\
\ \\
BC^2 = 1^2 + 2^2\\
\ \\
BC^2 = 5\\
\ \\
BC = \sqrt{5}
$$
Por simetria, temos que os segmentos $BD$ e $EC$ são iguais. Assim:
$$BD = EC = \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 0,618 \cdots
$$
Analogamente, temos que os segmentos $BE$ e $CD$ são iguais. Assim:
$$BE = BC - EC\\
\ \\
BE = \sqrt{5} - \frac{\sqrt{5}-1}{2}\\
\ \\
BE = \frac{2\sqrt{5} - \sqrt{5}+1}{2}\\
\ \\
BE = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1,618\cdots = \varphi
$$
Esta elegante construção geométrica de como expressar $\varphi$ foi elaborada por Bengt Erik Erlandsem, em 2006.
* Artigo atualizado em 15/11/2024
Realmente Kleber, essa é uma construção de PHI muito elegante!
ResponderExcluirVamos ver o que vem por aí nas próximas partes... estamos no aguardo.
Até
Lendo o seu post, vi que podemos provar de outro modo. Como BC = sqrt(5), e de BD + DE = DE + CE => BD = CE. Assim, 2BD + DE = sqrt(5) =>
ResponderExcluirBD = (sqrt(5) - 1)/2 =>
PHI = BD + 1 = (sqrt(5) + 1)/2
Essa construção eu não conhecia e ficou muito boa. Parabéns e obrigado pelo link.
Pedro, bem simples essa construção. Estamos acostumados a encontrar phi no pentágono, que é mais trivial. Tenho outras construções de phi em circunferências, logo faço as postagens.
ResponderExcluirAbraços.
Paulo, obrigado por enriquecer o post com sua demonstração, já adicionei no corpo do artigo.
ResponderExcluirUm abraço.
Nossa que negoçio complicado!!
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