16/03/2011

Construção Geométrica de PHI em Circunferências (Parte 1)

Há diversas construções geométricas utilizando circunferências onde podemos encontrar a constante Φ (PHI), ou o número de ouro.

Sejam três circunferências de diâmetros iguais a 1, cujos centros são colineares e tangentes entre si duas a duas. Demonstraremos que o segmento BE = CD = Φ.

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Da figura acima, temos que no triângulo ABC, os segmentos AB = 1 e AC = 2. Logo, o segmento BC será dado pelo teorema pitagórico:

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Por simetria, temos que os segmentos BD e EC são iguais:

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Da mesma forma, temos que os segmentos BE e CD são iguais e:

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Esta simples e elegante construção geométrica de como expressar Φ foi elaborada por Bengt Erik Erlandsem em 2006.

Outra forma de provar que o segmento BE = Φ foi sugerida pelo Professor Paulo do blog Fatos Matemáticos, como segue abaixo:

Como o segmento BC = √5 e de BD + DE = DE + CE segue que BD = CE Assim:

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Como DE é o diâmetro da circunferência de raio 1, temos que :

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Veja mais:

Construção Geométrica de PHI em Circunferências (Parte 2)
A Razão Áurea no blog Fatos Matemáticos

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5 comentários:

  1. Realmente Kleber, essa é uma construção de PHI muito elegante!

    Vamos ver o que vem por aí nas próximas partes... estamos no aguardo.

    Até

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  2. Lendo o seu post, vi que podemos provar de outro modo. Como BC = sqrt(5), e de BD + DE = DE + CE => BD = CE. Assim, 2BD + DE = sqrt(5) =>

    BD = (sqrt(5) - 1)/2 =>

    PHI = BD + 1 = (sqrt(5) + 1)/2

    Essa construção eu não conhecia e ficou muito boa. Parabéns e obrigado pelo link.

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  3. Pedro, bem simples essa construção. Estamos acostumados a encontrar phi no pentágono, que é mais trivial. Tenho outras construções de phi em circunferências, logo faço as postagens.

    Abraços.

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  4. Paulo, obrigado por enriquecer o post com sua demonstração, já adicionei no corpo do artigo.

    Um abraço.

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  5. Nossa que negoçio complicado!!

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