16/03/2011

Construção geométrica de phi em circunferências - Parte 1

Há diversas construções geométricas onde podemos encontrar a constante $\varphi$ (phi), ou seja, o número de ouro.

Este é o primeiro artigo de uma série sobre construções geométricas de $\varphi$ em circunferências. Leiam outros artigos da série:

Veremos a seguir como encontrar o número de ouro a partir de três circunferências tangentes cujos centros estão alinhados.

Sejam três circunferências de diâmetros iguais a 1, cujos centros são colineares e tangentes entre si duas a duas. Demonstraremos que:
$$
\varphi = BE = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1,618 \cdots
$$
construcao-geometrica-de-phi-Φ-em-circunferencias-parte-1
Observando a figura acima, temos que no triângulo $ABC$ os segmentos $AB=1$ e $AC=2$. Logo, o segmento $BC$ é a hipotenusa do triângulo e podemos aplicar o teorema de Pitágoras:
$$
BC^2 = AB^2 + AC^2\\
\ \\
BC^2 = 1^2 + 2^2\\
\ \\
BC^2 = 5\\
\ \\
BC = \sqrt{5}
$$
Por simetria, temos que os segmentos $BD$ e $EC$ são iguais. Assim:
$$
BD = EC = \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 0,618 \cdots
$$
Analogamente, temos que os segmentos $BE$ e $CD$ são iguais. Assim:
$$
BE = BC - EC\\
\ \\
BE = \sqrt{5} - \frac{\sqrt{5}-1}{2}\\
\ \\
BE = \frac{2\sqrt{5} - \sqrt{5}+1}{2}\\
\ \\
BE = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1,618\cdots = \varphi
$$
Esta elegante construção geométrica de como expressar $\varphi$ foi elaborada por Bengt Erik Erlandsem, em 2006.

* Artigo atualizado em 15/11/2024

Veja mais:

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Construção geométrica de phi em circunferências - Parte 1. Publicado por Kleber Kilhian em 16/03/2011. URL: . Leia os Termos de uso.


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5 comentários:

  1. Realmente Kleber, essa é uma construção de PHI muito elegante!

    Vamos ver o que vem por aí nas próximas partes... estamos no aguardo.

    Até

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  2. Lendo o seu post, vi que podemos provar de outro modo. Como BC = sqrt(5), e de BD + DE = DE + CE => BD = CE. Assim, 2BD + DE = sqrt(5) =>

    BD = (sqrt(5) - 1)/2 =>

    PHI = BD + 1 = (sqrt(5) + 1)/2

    Essa construção eu não conhecia e ficou muito boa. Parabéns e obrigado pelo link.

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  3. Pedro, bem simples essa construção. Estamos acostumados a encontrar phi no pentágono, que é mais trivial. Tenho outras construções de phi em circunferências, logo faço as postagens.

    Abraços.

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  4. Paulo, obrigado por enriquecer o post com sua demonstração, já adicionei no corpo do artigo.

    Um abraço.

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  5. Nossa que negoçio complicado!!

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