25/03/2011

Construção Geométrica de PHI em Circunferências (Parte 3)

contrucao-geometrica-de-phi-em-circunferencias-o-baricentro-da-mente-kleber-kilhian
Esta construção foi desenvolvida por George Odom, publicada no American Mathematics Monthy, em 1983 e se dá com a circunferência circunscrita a um triângulo equilátero. Tomando os pontos médios de dois lados do triângulo, unimos esses pontos por um segmento de reta prolongando-o até a intersecção com a circunferência. A razão entre os segmentos $AC$ e $AB$ é PHI.

Sendo a os lados do triângulo equilátero inscrito à circunferência, temos que encontrar as medidas dos segmentos $AC$ e $AB$.

Considerando a figura abaixo, notem que, se $DF = a$, logo:
$$
AF = \frac{a}{2} = AB \tag{1}
$$
contrucao-geometrica-de-phi-em-circunferencias-demonstracao
Vamos determinar primeiramente a medida da altura $MF$ do triângulo:
$$
DF^2 = MF^2 + DM^2\\
\ \\
a^2 = MF^2 + \frac{a^2}{4}\\
\ \\
MF^2 = a^2-\frac{a^2}{4}\\
\ \\
MF^2 = \frac{2a^2}{3}
$$
Extraindo a raiz de ambos os lados da igualdade, obtemos:
$$
MF = \frac{a\sqrt{3}}{2} \tag{2}
$$
Como $DE=DJ+JL+LE=a$ e $\displaystyle JL=AB=\frac{a}{2}$, logo, o segmento $DJ$ é igual a:
$$
DJ = \frac{a}{4} \tag{3}
$$
Vamos determinar a medida de $AJ$:
$$
AD^2 = DJ^2 + AJ^2\\
\ \\
\frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{16} + AJ^2\\
\ \\
AJ^2 = \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{16}\\
\ \\
AJ^2 = \frac{3a^2}{16}
$$
Extraindo a raiz de ambos os lados da igualdade, obtemos:
$$
AJ = \frac{a\sqrt{3}}{4} \tag{4}
$$
Analisando a figura 2, vemos que:
\begin{cases}
\displaystyle OM = \frac{1}{3} MF\\
\displaystyle AJ = OG + \frac{1}{3}MF
\end{cases}
Da segunda equação, temos:
$$
OG = AJ - \frac{1}{3}MF\\
\ \\
OG = \frac{a\sqrt{3}}{4} - \frac{a\sqrt{3}}{6}\\
$$
Obtendo:
$$
OG = \frac{a\sqrt{3}}{12} \tag{5}
$$
Podemos aplicar o teorema pitagórico no triângulo retângulo $OGC$, onde $r$ é o raio da circunferência que equivale a $2/3$ de sua altura:
$$
r = \frac{2}{3}MF\\
\ \\
r = \frac{a\sqrt{3}}{3} \tag{6}
$$
Temos que:
$$
r^2 = OG^2 + GC^2\\
\ \\
\left(\frac{3a^2}{3}\right)^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{12}\right)^2 + GC^2\\
\ \\
\frac{3a^2}{9} = \frac{3a^2}{144} + GC^2
$$
O segmento $AC=AG+GC$, assim $\displaystyle AG=\frac{a}{4}$. Logo:
$$
AC = \frac{1}{4} + \frac{a\sqrt{5}}{4}\\
\ \\
AC = \frac{a\big( 1 + \sqrt{5} \big)}{4} \tag{8}
$$
A razão áurea nesta construção é dada por $\displaystyle \frac{AC}{AB} = \varphi$:
$$
\varphi = \frac{\displaystyle \frac{a\big(1+\sqrt{5}\big)}{4}}{\displaystyle \frac{a}{2}}\\
\ \\
\varphi = \frac{a\big(1+\sqrt{5}\big)}{4}\cdot \frac{2}{a}\\
\ \\
\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\\
\ \\
\varphi = 1,618\cdots
$$
Notem que esta construção independe do raio da circunferência.

Veja mais:


COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Construção Geométrica de PHI em Circunferências (Parte 3). Publicado por Kleber Kilhian em 25/03/2011. URL: . Leia os Termos de uso.


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3 comentários:

  1. De fato, assim como as outras duas esta é uma bela construção. Boa série de postagens!!

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  2. Olá, Kleber!
    Dessa vez não foi preciso lançar mão de três circunferências para se encontrar o PHI, coisa que você tinha avisado. Agora, na minha opinião, das três construções, essa aqui é a mais prática!
    Ótima postagem e como das vezes anteriores, receba os meus parabéns!
    Um abraço!!!!!

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  3. Essa construção acho que é a mais interessante das 3, pois a razão áurea independe do tamanho do raio. Isso a torna "universal", de certa forma.

    Abraços, amigos!

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