25/03/2011

Construção Geométrica de PHI em Circunferências (Parte 3)

Esta construção se dá com a circunferência circunscrita a um triângulo eqüilátero. Tomando os pontos médios de dois lados do triângulo, unimos esses pontos por um segmento de reta prolongando-o até a intersecção com a circunferência. A razão entre os segmentos AC e AB é PHI.

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[Figura 1]

Sendo a os lados do triângulo eqüilátero inscrito à circunferência, temos que encontrar as medidas dos segmentos AC e AB.

Considerando a figura abaixo, notem que, se DF = a, logo:

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[Figura 2]

Vamos determinar primeiramente a medida da altura MF do triângulo:

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Veja que DE = DJ + JL + LE = a e que JL = AB = a / 2. Logo, o segmento DJ é igual:

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Vamos determinar a medida de AJ:

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Analisando a figura 2, vemos que:

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Podemos agora aplicar o teorema pitagórico no triângulo retângulo OGC, onde r é o raio da circunferência que equivale a 2/3 de sua altura:

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Temos que

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Simplificando, obtemos:

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O segmento AC = AG + GC. Sabemos que AG = a / 4, logo:

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A Razão Áurea nesta construção é dada por:

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Veja que esta construção desenvolvida por George Odom e publicada no American Mathematics Monthly, em 1983, independe do raio da circunferência. Um bela construção!


Veja mais:

Construção Geométrica de PHI em Circunferências (Parte 1)
Construção Geométrica de PHI em Circunferências (Parte 2)
Construção Geométrica de Tangentes com Régua e Compasso

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3 comentários:

  1. De fato, assim como as outras duas esta é uma bela construção. Boa série de postagens!!

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  2. Olá, Kleber!
    Dessa vez não foi preciso lançar mão de três circunferências para se encontrar o PHI, coisa que você tinha avisado. Agora, na minha opinião, das três construções, essa aqui é a mais prática!
    Ótima postagem e como das vezes anteriores, receba os meus parabéns!
    Um abraço!!!!!

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  3. Essa construção acho que é a mais interessante das 3, pois a razão áurea independe do tamanho do raio. Isso a torna "universal", de certa forma.

    Abraços, amigos!

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