Há diversas construções geométricas onde podemos encontrar a constante $\varphi$ (phi), ou seja, o número de ouro.
Este é o segundo artigo de uma série sobre construções geométricas de $\varphi$ em circunferências. Leiam outros artigos da série:
- Construção geométrica de phi - Parte 1
- Construção geométrica de phi - Parte 2
- Construção geométrica de phi - Parte 3
- Construção geométrica de phi - parte 4
- Construção geométrica de phi - Parte 5
- Construção geométrica de phi - Parte 6
- Construção geométrica de phi - Parte 7
- Construção geométrica de phi - Parte 8
Veremos a seguir como encontrar o número de ouro a partir de três circunferências concêntricas.
Sejam três circunferências concêntricas de raios $r=1$. $r=2$ e $r=4$. Demonstraremos que:
$$\varphi = \frac{AD}{AB} = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1,618 \cdots
$$
Traçamos uma tangente à circunferência de raio 1 em $C$, marcando os pontos $A$ e $B$ na intersecção com a circunferência de raio 2, e o ponto $D$ na intersecção com a circunferência externa.
Observando a figura acima, podemos aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo $OCB$:
$$OB^2 = OC^2 + CB^2\\
\ \\
2^2 = 1^1 + CB^2\\
\ \\
4 = 1 + CB^2\\
\ \\
CB^2 = 3\\
\ \\
CB = \sqrt{3}
$$
Por simetria, $AC=CB$. Logo:
$$AB = 2\sqrt{3}
$$
Agora, aplicamos o teorema pitagórico no triângulo $OCD$:
$$OD^2 = OC^2 + CD^2\\
\ \\
4^2 = 1^2 + CD^2\\
\ \\
16 = 1+ CD^2\\
\ \\
CD^2 = 15\\
\ \\
CD = \sqrt{15}
$$
O segmento $AD$ é dado pela soma dos segmentos $AC$ e $CD$:
$$AD = AC + CD\\
\ \\
AD = \sqrt{3} + \sqrt{15}
$$
A razão entre os segmentos $AD$ e $AB$ nos leva ao número de ouro:
$$\frac{AD}{AB} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{2\sqrt{3}}\\
\ \\
\frac{AD}{AB} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\
\ \\
\frac{AD}{AB} = \frac{3+3\sqrt{5}}{6}\\
\ \\
\frac{AD}{AB} = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1,618\cdots = \varphi
$$
Esta construção geométrica de como expressar $\varphi$ foi realizada por Sam Kutler e apresentada por Steve Lautizar.
*Artigo atualizado em 15/11/2024.
Muito bonita esta construção e phi, apenas faltou o ponto O, mas subentende-se que ele é o centro das circunferências. Parabéns pelo post.
ResponderExcluirAs construções que envolvem PHI sempre são muito belas. Corrigido centro $O$!
ResponderExcluirOlá, Kleber!
ResponderExcluirPhiquei pasmo em apreciar, tamanha demonstração de precisão e simplicidade para se obter o valor de phi.
Também phiquei pensando se... e pergunto: precisamos sempre usarmos o conjunto de três circunferências na construção geométrica para obtermos o valor de PHI?
Parabéns, pela postagem!
Um abraço!!!!!
Olá Valdir, na verdade foi pura coincidência as duas primeiras partes serem com 3 circunferências. Mas que é bonito de se ver, isso é!
ResponderExcluirUm abraço!
Interessante resolução. Fico pensando o que o matemático não é capaz de fazer.Parabéns pelo blog!
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