20/03/2011

Construção Geométrica de PHI em Circunferências (Parte 2)

Esta é uma construção com três circunferências concêntricas, cujos raios estão numa proporção de 1 : 2 : 4, onde podemos encontrar a razão áurea:

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Sejam três circunferências concêntricas de raios 1, 2 e 4. Traçar uma tangente à circunferência menor em C, marcando os pontos A e B na circunferência de raio 2 e D na circunferência externa.

image A razão entre os segmentos AD e AB é PHI e pode ser provada da seguinte forma:

No triângulo OCB, retângulo em C, aplicamos o teorema pitagórico:

clip_image006

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Então o segmento AC medirá:

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e

clip_image014

No triângulo OCD, analogamente, encontramos a medida do segmento CD:

clip_image016

Logo, o segmento AD medirá:

clip_image018

clip_image020

A razão entre os segmentos AD e AB:

clip_image022

Esta construção foi desenvolvida por Sam Kutler e apresentada por Steve Lautizar.


Veja mais:

Construção Geométrica de PHI em Circunferências (Parte 1)

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5 comentários:

  1. Muito bonita esta construção e phi, apenas faltou o ponto O, mas subentende-se que ele é o centro das circunferências. Parabéns pelo post.

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  2. As construções que envolvem PHI sempre são muito belas. Corrigido centro $O$!

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  3. Olá, Kleber!
    Phiquei pasmo em apreciar, tamanha demonstração de precisão e simplicidade para se obter o valor de phi.
    Também phiquei pensando se... e pergunto: precisamos sempre usarmos o conjunto de três circunferências na construção geométrica para obtermos o valor de PHI?
    Parabéns, pela postagem!
    Um abraço!!!!!

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  4. Olá Valdir, na verdade foi pura coincidência as duas primeiras partes serem com 3 circunferências. Mas que é bonito de se ver, isso é!
    Um abraço!

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  5. Interessante resolução. Fico pensando o que o matemático não é capaz de fazer.Parabéns pelo blog!

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